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Potenzreihenlösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Beispiel: Frobenius´sches Verfahren

Betrachten wir die Differenzialgleichung

x 2 y ' ' + 4 x y ' + ( x 2 + 2 ) y = 0 .

Nach der Definition ist x = 0 eine außerordentlich singuläre Stelle. Wir versuchen deshalb als Lösung eine Potenzreihe der Form:

y ( x ) = k = 0 a k x k + s .

Die erste und zweite Ableitung von y sind

y ' ( x ) = k = 0 ( k + s ) a k x k + s - 1 , y ' ' ( x ) = k = 0 ( k + s ) ( k + s - 1 ) a k x k + s - 2 .

Nach Substitution in die Differenzialgleichung erhalten wir

k = 0 ( k + s ) ( k + s - 1 ) a k x k + s + 4 ( k + s ) a k x k + s + a k x k + s + 2 + 2 a k x k + s = 0.

Es gilt

k = 0 a k x k + s + 2 = k = 2 a k -2 x k + s .

Vergleichen wir die Koeffizienten der Potenzen von x , so erhalten wir:

k = 0 s ( s - 1 ) a 0 + 4 s a 0 + 2 a 0 = 0 k = 1 ( s + 1 ) s a 1 + 4 ( s + 1 ) a 1 + 2 a 1 = 0 k 2 ( k + s ) ( k + s - 1 ) a k + 4 ( k + s ) a k + a k -2 + 2 a k = 0.

Aus der Gleichung für k = 0 ergibt sich die Indexgleichung

s 2 + 3 s + 2 = 0 s = -1 , -2.

Wenn s = -1 ist, ergibt sich aus der Gleichung für k = 1 , dass a 1 = 0 ist, und aus der Gleichung für k 2 folgende Rekursionsformel für die Koeffizienten:

a k = - a k -2 ( k - 1 ) ( k + 2 ) + 2 = - a k -2 k ( k + 1 ) .

Da a 1 = 0 , sind a 3 = 0 , a 5 = 0 usw. Die geraden Koeffizienten sind

a 2 = - a 0 3 2 , a 4 = - a 2 5 4 = a 0 5 4 3 2 , ,

wobei a 0 beliebig ist; folglich ist eine Lösung:

y ( x ) = k = 0 a k x k - 1 = a 0 1 x - x 3 ! + x 3 5 ! + = a 0 sin x x 2 .

Wenn s = -2 , findet man die Lösung

y ( x ) = a 0 cos x x 2 ,

und so ist die allgemeine Lösung

y ( x ) = c 1 sin x x 2 + c 2 cos x x 2 c 1 , c 2 beliebig.
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