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Potenzreihenlösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Beispiel: Schwingungsgleichung

Betrachten wir die Schwingungsgleichung

y ' ' + y = 0

mit dem Potenzreihenansatz:

y ( x ) = k = 0 a k x k ,

wobei die Koeffizienten a k zu bestimmen sind. Differenzieren wir die Potenzreihenentwicklung von y ( x ) zweimal nach x , so ergibt sich

y ' ' ( x ) = k = 2 k ( k - 1 ) a k x k - 2 = k = 0 ( k + 2 ) ( k + 1 ) a k +2 x k .

Nach Substitution in der Differenzialgleichung erhalten wir

k = 0 ( k + 2 ) ( k + 1 ) a k +2 + a k x k = 0.

Vergleichen wir die Koeffizienten der Potenzen von x , so erhalten wir folgende Rekursionsformel:

a k +2 = - a k ( k + 2 ) ( k + 1 ) k = 0 , , .

Die Koeffizienten a 0 und a 1 sind beliebig wählbar und werden als die Integrationskonstanten interpretiert.

a 2 = - a 0 2 1 , a 4 = - a 2 4 3 = a 0 4 3 2 1 , a 6 = - a 4 6 5 = - a 0 6 ! , a 3 = - a 1 3 2 , a 5 = - a 3 5 4 = a 1 5 4 3 2 , a 7 = - a 5 7 6 = - a 1 7 ! , .

Die beiden fundamentalen Lösungen sind dann:

y 1 ( x ) = a 0 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - = a 0 cos ( x ) y 2 ( x ) = a 1 x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - = a 1 sin ( x ) ,

die wir als Potenzreihenentwicklungen für die Sinus- und Kosinusfunktionen erkennen.

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