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Potenzreihenlösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Frobenius´sches Verfahren

Wir betrachten eine gewöhnliche lineare homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung

y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = 0 ,

die einen regulären oder (schlimmstenfalls) einen außerordentlich singulären Punkt x = x 0 besitzt, und versuchen eine Lösung mit folgendem Potenzreihenenansatz um diesen Punkt:

y ( x ) = k = 0 a k x - x 0 k + s .

Nach Substitution in die Differenzialgleichung ergibt sich eine Rekursionsformel für die Koeffizienten a k . Setzt man in der Rekursionsformel k = 0 , so erhält man eine quadratische Gleichung in s :

s 2 + α s + β = 0.

Man bezeichnet sie als die determinierende Gleichung oder Indexgleichung. Durch Substitution der Wurzeln s 1 und s 2 der Indexgleichung in die Rekursionsformel lassen sich eine oder beide der fundamentalen Lösungen bestimmen.

Das Frobenius´sche Verfahren liefert die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung. Über die Bedingungen gibt Auskunft der Satz von Fuchs:

Theorem
Besitzt die Differenzialgleichung
y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = 0
in x = x 0 einen außerordentlich singulären Punkt, so gibt es dennoch eine konvergente Potenzreihenentwicklung der Lösung in x = x 0 , eventuell mit endlich vielen negativen Potenzen.

Im Fall eines wesentlich singulären Punktes wird das Verfahren in der Regel scheitern.

Ob das Frobenius´sche Verfahren zwei linear unabhängige Lösungen der Differenzialgleichung liefert, hängt von den Wurzeln s 1 und s 2 der Indexgleichung ab:

  1. s 1 = s 2 : nur eine Lösung.
  2. s 1 - s 2 ganze Zahl: zwei linear unabhängige Lösungen.
  3. s 1 - s 2 = ganze Zahl: die größte Wurzel liefert eine Lösung, die kleinste Wurzel kann eine Lösung liefern.

Wenn es notwendig ist, kann man eine zweite linear-unabhängige Lösung y 2 ( x ) aus der ersten Lösung y 1 ( x ) z.B. mittels der Wronski-Determinante generieren:

y 2 ( x ) = y 1 ( x ) x exp { - x 2 p 1 ( x 1 ) d x 1 } { y 1 ( x 2 ) } 2 d x 2 .
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