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Potenzreihenlösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Potenzreihe als Lösung

Wir betrachten eine gewöhnliche lineare homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung

y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = 0 .

Nach dem Satz von Picard-Lindelöf besitzt (1) eine eindeutige Lösung in dem Bereich um die Stelle x = x 0 , wenn die Koeffizienten p 1 ( x ) und p 0 ( x ) in demselben Bereich stetig sind.

Wenn die Funktionen p 1 ( x ) und p 0 ( x ) konvergente Potenzreihenentwicklungen in einem Bereich um die Stelle x = x 0 besitzen, erwartet man, dass jede Lösung y ( x ) auch eine konvergente Potenzreihenentwicklung in demselben Bereich hat. Sind p 1 ( x ) und p 0 ( x ) analytisch an der Stelle x = x 0 (d.h. p 1 ( x 0 ) und p 0 ( x 0 ) seien endlich), dann bezeichnet man x 0 als regulären Punkt der Differenzialgleichung.

Folglich besitzt die Lösung einer Differenzialgleichung in der Umgebung eines regulären Punktes x 0 eine Potenzreihenentwicklung:

y ( x ) = k = 0 a k x - x 0 k .
Beispiel
y ' ' + y = 0.

Vergleich mit ergibt

p 1 ( x ) = 0 und p 0 ( x ) = 1 ,

sodass eine Potenzreihenentwicklung um einen regulären Punkt z.B. x = 0 als Lösung gilt. Substitution des Potenzreihenansatzes liefert eine Rekursionsformel für die Koeffizienten a k , von denen zwei frei wählbar sind (Integrationskonstanten). Siehe Erläuterung.

Sind im Gegensatz dazu entweder p 1 ( x ) oder p 0 ( x ) nicht analytisch in x 0 , dann wird x 0 als singulären Punkt der Differenzialgleichung bezeichnet. Man unterscheidet zwischen zwei Arten von singulären Punkten:

  1. Wenn entweder p 1 ( x ) oder p 0 ( x ) mit x x 0 divergiert, aber ( x - x 0 ) p 1 ( x ) und ( x - x 0 ) 2 p 0 ( x ) mit x x 0 endlich bleiben, dann heißt x = x 0 eine außerordentlich singuläre Stelle.
  2. Wenn ( x - x 0 ) p 1 ( x ) oder ( x - x 0 ) 2 p 0 ( x ) mit x x 0 divergiert, dann bezeichnet man x = x 0 als eine wesentlich singuläre Stelle.
Beispiel

Die Bessel´sche Differenzialgleichung lautet

y ' ' + 1 x y ' + 1 - n 2 x 2 y = 0 , n = beliebige reelle Zahl .

Vergleich mit ergibt

p 1 ( x ) = 1 x und p 0 ( x ) = 1 - n 2 x 2 .

Folglich ist x = 0 eine außerordentlich singuläre Stelle.

In der Umgebung eines singulären Punktes x 0 führt ein Potenzreihenansatz der obigen Form nicht notwendig zu einer allgemeinen, ja überhaupt zu irgendeiner Lösung. Stattdessen bedient man sich des allgemeineren Potenzreihenansatzes

y ( x ) = k = 0 a k x - x 0 k + s ,

um eine Lösung zu finden. Dabei ist s eine zusätzliche, unbestimmte Konstante, die nicht unbedingt eine ganze Zahl sein muss. Dieser Ansatz bildet die Grundlagen des Frobenius´schen Verfahrens.

Beispiel
4 x y ' ' + 2 y ' + y = 0

besitzt eine außerordentlich singuläre Stelle x = 0 . Substitution des Potenzreihenansatzes ergibt eine Rekursionsformel, die nur eine der beiden fundamentalen Lösungen bestimmt, während der Potenzreihenansatz beide Lösungen bestimmen lässt.

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