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Eigenfunktionen

Eigenwerte und Eigenfunktionen

Wir betrachten eine gewöhnliche Differenzialgleichung der Form

d 2 y d x 2 - λ y = 0

mit einem unbestimmten Parameter λ . Da die charakteristische Gleichung Nullstellen bei r = ± λ 1 / 2 besitzt, ist die allgemeine Lösung

y ( x ) = c 1 e λ x + c 2 e - λ x .

Wir wollen nun statt der Anfangsbedingungen Randbedingungen an zwei verschiedenen Stellen x = 0 und x = l angeben und die Werte des Parameters λ bestimmen, für die Lösungen existieren. Geht man von den Randbedingungen

y ( 0 ) = 0 und y ( l ) = 0

aus, dann können reelle Exponentialfunktionen diese Bedingungen nicht erfüllen. Setzen wir

λ n = - π l n 2 mit n = 0 , 1 , 2 , c 1 = - c 2 = c 2 i ,

dann ist die Lösung:

y n ( x ) = c i e i π n x / l - e - i π n x / l = c sin π n l x .

Sie erfüllt die angegebenen Randbedingungen. Man bezeichnet die Werte λ n als Eigenwerte und die zugehörigen Lösungen y n ( x ) als Eigenfunktionen der Differenzialgleichung

d 2 y n d x 2 = λ n y n .
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