Beispiel: Methode der Variation der Konstanten

Bestimme die allgemeine Lösung von

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}-\mathit{y}\text{'}-2\mathit{y}={\text{e}}^{2\mathit{x}}.$$

Die charakteristische Gleichung der zugehörigen homogenen Gleichung besitzt zwei reelle Nullstellen

$${\mathit{r}}^2-\mathit{r}-2=0\Rightarrow {\mathit{r}}_1=-1,{\mathit{r}}_2=2.$$

Folglich ist das fundamentale Lösungssystem

$${\mathit{y}}_1(\mathit{x})={\text{e}}^{-\mathit{x}}\text{und}{\mathit{y}}_2(\mathit{x})={\text{e}}^{2\mathit{x}}.$$

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist dann

$${\mathit{y}}_0(\mathit{x})={\mathit{c}}_1{\mathit{y}}_1(\mathit{x})+{\mathit{c}}_2{\mathit{y}}_2(\mathit{x})={\mathit{c}}_1{\text{e}}^{-\mathit{x}}+{\mathit{c}}_2{\text{e}}^{2\mathit{x}},{\mathit{c}}_1,{\mathit{c}}_2\text{beliebig}.$$

Wir suchen eine partikuläre Lösung ${\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x})$ der inhomogenen Gleichung der Form

$${\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x})=\mathit{u}(\mathit{x}){\mathit{y}}_1(\mathit{x})+\mathit{v}(\mathit{x}){\mathit{y}}_2(\mathit{x}),$$

wobei die Funktionen $\mathit{u}(\mathit{x})$ und $\mathit{v}(\mathit{x})$ zu bestimmen sind. Unter Verwendung der Wronski-Determinante

$$\mathit{W}({\mathit{y}}_1,{\mathit{y}}_2)={\mathit{y}}_1{\mathit{y}}_2\text{'}-{\mathit{y}}_2{\mathit{y}}_1\text{'}=2{\text{e}}^{-\mathit{x}}{\text{e}}^{2\mathit{x}}+{\text{e}}^{2\mathit{x}}{\text{e}}^{-\mathit{x}}=3{\text{e}}^{\mathit{x}}$$

ergibt sich für die Funktionen $\mathit{u}(\mathit{x})$ und $\mathit{v}(\mathit{x})$:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{u}(\mathit{x})& =& -\int \frac{{\mathit{y}}_2(\mathit{x})\mathit{q}(\mathit{x})}{\mathit{W}({\mathit{y}}_1,{\mathit{y}}_2)}\text{d}\mathit{x}=-\int \frac{{\text{e}}^{2\mathit{x}}{\text{e}}^{2\mathit{x}}}{3{\text{e}}^{\mathit{x}}}\text{d}\mathit{x}=-\frac{1}{3}\int {\text{e}}^{3\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}=-\frac{1}{9}{\text{e}}^{3\mathit{x}}\\ \mathit{v}(\mathit{x})& =& \int \frac{{\mathit{y}}_1(\mathit{x})\mathit{q}(\mathit{x})}{\mathit{W}({\mathit{y}}_1,{\mathit{y}}_2)}\text{d}\mathit{x}=\int \frac{{\text{e}}^{-\mathit{x}}{\text{e}}^{2\mathit{x}}}{3{\text{e}}^{\mathit{x}}}\text{d}\mathit{x}=\frac{1}{3}\int \text{d}\mathit{x}=\frac{\mathit{x}}{3}.\end{array}$$

Folglich ist die gesuchte partikuläre Lösung

$${\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x})=-\frac{1}{9}{\text{e}}^{2\mathit{x}}+\frac{\mathit{x}}{3}{\text{e}}^{2\mathit{x}}.$$

Wir ignorieren das erste Glied, da es in der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung bereits enthalten ist. Schließlich erhalten wir

$$\mathit{y}(\mathit{x})={\mathit{y}}_0(\mathit{x})+{\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x})={\mathit{c}}_1{\text{e}}^{-\mathit{x}}+{\mathit{c}}_2{\text{e}}^{2\mathit{x}}+\frac{\mathit{x}}{3}{\text{e}}^{2\mathit{x}}.$$