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Inhomogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Beispiel: Methode der Variation der Konstanten

Bestimme die allgemeine Lösung von

y ' ' - y ' - 2 y = e 2 x .

Die charakteristische Gleichung der zugehörigen homogenen Gleichung besitzt zwei reelle Nullstellen

r 2 - r - 2 = 0 r 1 = -1 , r 2 = 2.

Folglich ist das fundamentale Lösungssystem

y 1 ( x ) = e - x und y 2 ( x ) = e 2 x .

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist dann

y 0 ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) = c 1 e - x + c 2 e 2 x , c 1 , c 2 beliebig .

Wir suchen eine partikuläre Lösung y p ( x ) der inhomogenen Gleichung der Form

y p ( x ) = u ( x ) y 1 ( x ) + v ( x ) y 2 ( x ) ,

wobei die Funktionen u ( x ) und v ( x ) zu bestimmen sind. Unter Verwendung der Wronski-Determinante

W ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' = 2 e - x e 2 x + e 2 x e - x = 3 e x

ergibt sich für die Funktionen u ( x ) und v ( x ) :

u ( x ) = - y 2 ( x ) q ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x = - e 2 x e 2 x 3 e x d x = - 1 3 e 3 x d x = - 1 9 e 3 x v ( x ) = y 1 ( x ) q ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x = e - x e 2 x 3 e x d x = 1 3 d x = x 3 .

Folglich ist die gesuchte partikuläre Lösung

y p ( x ) = - 1 9 e 2 x + x 3 e 2 x .

Wir ignorieren das erste Glied, da es in der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung bereits enthalten ist. Schließlich erhalten wir

y ( x ) = y 0 ( x ) + y p ( x ) = c 1 e - x + c 2 e 2 x + x 3 e 2 x .
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