zum Directory-modus

Inhomogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

Die erzwungenen gedämpften Schwingungen einer Masse m an einer Feder mit Federkonstante k und Reibungskonstante c in einer Dimension ist durch folgende inhomogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben:

d 2 x d t 2 + c m d x d t + k m x = F ( t ) m = A m cos ω t .

F ( t ) ist die von außen angelegte Kraft. Die allgemeine Lösung lautet

x ( t ) = x 0 ( t ) + x p ( t ) ,

wobei x 0 ( t ) die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und x p ( t ) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung beschreibt freie gedämpfte Schwingungen. Zur Lösung der inhomogenen Gleichung versuchen wir mittels der Methode der unbestimmten Koeffizienten eine partikuläre Lösung der Form

x p ( t ) = a cos ω t + b sin ω t

zu ermitteln, wobei die Konstanten a und b zu bestimmen sind. Nach Substitution von x p ( t ) in die Differenzialgleichung ergibt sich

- a ω 2 + b ω c m + k a m cos ω t + - b ω 2 - a ω c m + k b m sin ω t = A m cos ω t .

Vergleichen wir die linke mit der rechten Seite, so erhalten wir

- a ω 2 + b ω c m + k a m = A m und - b ω 2 - a ω c m + k b m = 0 ,

was sich auch wie folgt schreiben lässt:

k - m ω 2 ω c - ω c k - m ω 2 a b = A 0 .

Dies ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit der Lösung

a = A ( k - m ω 2 ) ( k - m ω 2 ) 2 + ω 2 c 2 und b = A ω c ( k - m ω 2 ) 2 + ω 2 c 2 .

Da die Kreisfrequenz der freien ungedämpften Schwingungen ω 0 = ( k m ) 1 2 ist, ist die partikuläre Lösung

x p ( t ) = A m ( ω 0 2 - ω 2 ) m 2 ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + ω 2 c 2 cos ω t + A ω c m 2 ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + ω 2 c 2 sin ω t ,

vorausgesetzt, dass

m 2 ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + ω 2 c 2 0 d.h. c 0 oder ω ω 0 .

Die Lösung x 0 ( t ) der zugehörigen homogenen Gleichung hat mit zunehmender Zeit weniger Einfluß auf die Lösung der inhomogenen Gleichung, da x 0 ( t ) 0 , wenn t .

Die Lösung lässt sich auch so schreiben:

x p ( t ) = x 0 cos ( ω t - δ ) ,

wobei

x 0 = A m 2 ( ω 0 2 - ω 2 ) 2 + ω 2 c 2 1 / 2 und δ = arctan ω c m ( ω 0 2 - ω 2 ) .

Man sieht, dass die Schwingung um einen Winkel δ gegenüber der Kraftschwingung phasenverschoben ist. Die Amplitude x 0 der Schwingung geht durch ein Maximum für ω = ω 0 .

Seite 5 von 5>