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Inhomogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Methode der Variation der Konstanten

Wir betrachten eine gewöhnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung der Form

y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = q ( x ) .

Seien y 1 ( x ) und y 2 ( x ) linear unabhängige Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = 0 ,

mit allgemeiner Lösung

y 0 ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) .

Als Ansatz suchen wir eine partikuläre Lösung y p ( x ) der inhomogenen Gleichung der Form

y p ( x ) = u ( x ) y 1 ( x ) + v ( x ) y 2 ( x ) ,

wobei die Funktionen u ( x ) und v ( x ) unbekannt sind (d.h. die Konstanten c 1 und c 2 werden variiert). Um die zwei unbekannten Funktionen u ( x ) und v ( x ) zu bestimmen, braucht man zwei Bedingungen:

y p ' ' + p 1 ( x ) y p ' + p 0 ( x ) y p = q ( x ) u ' ( x ) y 1 ( x ) + v ' ( x ) y 2 ( x ) = 0.

Die erste Bedingung besagt, dass die partikuläre Lösung y p ( x ) die inhomogene Gleichung erfüllen muss. Die zweite Bedingung führt man aus praktischen Gründen ein, da sie die Berechnung von u ( x ) und v ( x ) erleichtert. Dann ergibt sich

u ( x ) = - y 2 ( x ) q ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x und v ( x ) = y 1 ( x ) q ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x .

W ( y 1 , y 2 ) die Wronski-Determinante von y 1 ( x ) und y 2 ( x ) . Folglich ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:

y ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) + y p ( x ) .
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