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Inhomogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Methode der unbestimmten Koeffizienten

Wir suchen eine partikuläre Lösung y p ( x ) einer gewöhnlichen linearen inhomogenen Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = q ( x ) .

Die Form von y p ( x ) ermitteln wir durch Probieren und Erraten. Dabei kann die Form von q ( x ) ein Hinweis sein.

Beispiel
y ' ' - 2 y = x 2 - 4 x .

Wir stellen fest, dass die Funktion q ( x ) = x 2 - 4 x ein Polynom zweiten Grades ist. Da ihre Ableitungen auch Polynome sind, erraten wir ein Polynom zweiten Grades als partikuläre Lösung:

y p ( x ) = a x 2 + b x + c .

Die Koeffizienten a , b und c bestimmen wir durch Substitution von y p ( x ) in die Differenzialgleichung.

y p ( x ) = a x 2 + b x + c y p ' ( x ) = 2 a x + b y p ' ' ( x ) = 2 a y p ' ' - 2 y p = x 2 - 4 x 2 a - 2 a x 2 - 2 b x - 2 c = x 2 - 4 x .

Beim Vergleich der Koeffizienten von x 2 , x 1 und x 0 ermitteln wir:

a = - 1 2 b = 2 c = - 1 2 .

Die partikuläre Lösung ist

y p ( x ) = - 1 2 x 2 + 2 x - 1 2 ,

die man durch Substitution leicht nachweisen kann. Die charakteristische Gleichung der zugehörigen homogenen Gleichung besitzt zwei reelle Nullstellen:

y ' ' - 2 y = 0 y 0 ( x ) = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x .

Folglich ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:

y ( x ) = y 0 ( x ) + y p ( x ) = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x - 1 2 x 2 + 2 x - 1 2 .

Basierend auf dieser Idee kann man eine Tabelle zusammenstellen, in der z.B. Störgliedfunktionen q ( x ) und die entsprechenden partikulären Lösungen y p ( x ) mit unbestimmten Koeffizienten als Vorschlag aufgelistet sind:

Tab.1
Partikuläre Lösungen
q ( x ) y p ( x )
b 0 + b 1 x 1 + + b n x n d 0 + d 1 x 1 + + d n x n
b e α x d e α x
b 0 + b 1 x 1 + + b n x n e α x d 0 + d 1 x 1 + + d n x n e α x
b sin α x oder b cos α x a sin α x + d cos α x
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