Inhomogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Eine gewöhnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung hat die Form

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}+{\mathit{p}}_1(\mathit{x})\mathit{y}\text{'}+{\mathit{p}}_0(\mathit{x})\mathit{y}=\mathit{q}(\mathit{x}).$$

Ein Beispiel dafür sind erzwungene Schwingungen

$$\frac{{\text{d}}^2\mathit{x}}{\text{d}{\mathit{t}}^2}+\frac{\mathit{c}}{\mathit{m}}\frac{\text{d}\mathit{x}}{\text{d}\mathit{t}}+\frac{\mathit{k}}{\mathit{m}}\mathit{x}=\mathit{f}(\mathit{t}),\text{mit}\mathit{f}(\mathit{t})=\frac{\mathit{F}(\mathit{t})}{\mathit{m}}$$

bei denen eine von außen angelegte Kraft z.B. $\mathit{F}(\mathit{t})=\mathit{A}cos\omega \mathit{t}$ auf die Masse wirkt.

Der erste Schritt zur Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung besteht in der Suche nach der allgemeinen Lösung für die zugehörige homogene Gleichung. Zusätzlich braucht man eine beliebige partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung.

Theorem

Die allgemeine Lösung $\mathit{y}(\mathit{x})={\mathit{c}}_1{\mathit{y}}_1(\mathit{x})+{\mathit{c}}_2{\mathit{y}}_2(\mathit{x})$ einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}+{\mathit{p}}_1(\mathit{x})\mathit{y}\text{'}+{\mathit{p}}_0(\mathit{x})\mathit{y}=\mathit{q}(\mathit{x}).$$

ist gleich der allgemeinen Lösung ${\mathit{y}}_0(\mathit{x})$ der zugehörigen homogenen Gleichung

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}+{\mathit{p}}_1(\mathit{x})\mathit{y}\text{'}+{\mathit{p}}_0(\mathit{x})\mathit{y}=0$$

plus einer partikulären Lösung ${\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x})$ der inhomogenen Gleichung

$$\mathit{y}(\mathit{x})={\mathit{c}}_1{\mathit{y}}_1(\mathit{x})+{\mathit{c}}_2{\mathit{y}}_2(\mathit{x})+{\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x}).$$

Die Methode zur Auffindung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung hängt davon ab, ob die Koeffizienten ${\mathit{p}}_0(\mathit{x})$ und ${\mathit{p}}_1(\mathit{x})$ konstant sind:

• ${\mathit{p}}_0(\mathit{x})$ und ${\mathit{p}}_1(\mathit{x})$ konstant: Methode der unbestimmten Koeffizienten
• ${\mathit{p}}_0(\mathit{x})$ und ${\mathit{p}}_1(\mathit{x})$ nicht unbedingt konstant: Methode der Variation der Konstanten