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Schwingungsgleichung

Gedämpfte Schwingungen: Der aperiodische Grenzfall

d 2 x d t 2 + c m d x d t + k m x = 0 mit c 2 - 4 k m = 0

Die Nullstellen der entsprechenden charakteristischen Gleichung sind reell und gleich

r 1 = r 2 = r = - c 2 m .

Die allgemeine Lösung

x ( t ) = exp - c t 2 m ( c 1 + c 2 t )

stellt eine aperiodische Bewegung dar. Dabei nähert sich die Masse allmählich dem Ruhezustand an. Die Anfangsbedingungen (Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 ) bestimmen die Konstanten c 1 und c 2 :

x ( 0 ) = c 1 und x ' ( 0 ) = c 2 - c c 1 2 m .

Aus der Lösung ersieht man, dass sich die Masse einmal durch den Gleichgewichtsort x ( t ) = 0 bewegt, wenn

c 1 + c 2 t = 0.

Mit anderen Worten: für den Zeitpunkt des Nulldurchganges t 0 muss gelten:

t 0 = - c 1 c 2 = - x ( 0 ) x ' ( 0 ) + c x ( 0 ) / 2 m > 0.
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