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Schwingungsgleichung

Schwingungsgleichung

Die freie Schwingung einer Masse m an einer Feder mit Federkonstante k in einer Dimension ist durch folgende homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben:

d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 , wobei ω 0 2 = k m .

Da die charakteristische Gleichung

r 2 + ω 0 2 = 0

zwei komplexe Nullstellen r = ± i ω 0 hat, ist die allgemeine Lösung oszillatorisch:

x ( t ) = c 1 cos ω 0 t + c 2 sin ω 0 t .

Die Lösung schreibt man oft so:

x ( t ) = A cos ( ω 0 t - δ ) .

Dabei hängt die

Amplitude A = c 1 2 + c 2 2 1 2 und Phase δ = arctan c 2 c 1

von den Anfangsbedingungen (Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 ) ab, d.h.

x ( 0 ) = c 1 und x ' ( 0 ) = c 2 ω 0 .

Gedämpfte freie Schwingungen

Die Masse werde durch eine Reibungskraft gebremst. Ist die Reibungskraft der Geschwindigkeit v der Masse proportional, so kann man - c v für sie ansetzen, wobei c die Reibungskonstante ist. Dann ergibt sich folgende Differenzialgleichung:

d 2 x d t 2 + c m d x d t + k m x = 0.

Die Nullstellen der entsprechenden charakteristischen Gleichung sind

- c 2 m ± 1 2 m c 2 - 4 k m 1 2 .

In diesem Fall sind drei verschiedene Lösungstypen möglich:

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