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Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Beispiel: Lösung der Poisson-Boltzmann-Gleichung

In der Elektrochemie beschreibt die Poisson-Boltzmann-Gleichung die elektrostatische Wechselwirkung zwischen Ionen

1 r 2 d d r r 2 d φ ( r ) d r = 1 β 2 φ ( r ) .

Wir führen zunächst die Substitution

u = r φ

durch, die uns

d φ ( r ) d r = r d u d r - u r 2

liefert. Setzen wir dies in ein, so erhalten wir

1 r 2 d d r r d u d r - u = 1 β 2 u r ,

und daraus eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

d 2 u d r 2 - 1 β 2 u = 0 .

Ihre charakteristische Gleichung besitzt zwei reelle Nullstellen s 1 = 1 β und s 2 = -1 β . Somit lautet die allgemeine Lösung:

u = A e s 1 r + B e s 2 r = A e r β + B e - r β .

Setzen wir jetzt wieder ein, so erhalten wir schließlich

φ ( r ) = A r e r β + B r e - r β .
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