zum Directory-modus

Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Charakteristische Gleichung mit zwei komplexen Nullstellen

Die charakteristische Gleichung einer homogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

hat zwei verschiedene komplexe Nullstellen r 1 , r 2 , wenn a 1 2 - 4 a 0 < 0 , d.h.

r 1 = - a 1 + i ( 4 a 0 - a 1 2 ) 1 / 2 2 und r 2 = - a 1 - i ( 4 a 0 - a 1 2 ) 1 / 2 2 .

Wir schreiben

r 1 = p + i q und r 2 = p - i q .

Folglich ist das fundamentale Lösungssystem

y 1 ( x ) = e ( p + i q ) x und y 2 ( x ) = e ( p - i q ) x

und die komplexe allgemeine Lösung von gegeben durch

y ( x ) = c 1 e ( p + i q ) x + c 2 e ( p - i q ) x .

Es mag auf den ersten Blick ungewöhnlich erscheinen, dass eine reelle Differenzialgleichung eine komplexe Lösung besitzt, doch auch eine beliebige Linearkombination von Lösungen einer linearen homogenen Differenzialgleichung stellt eine Lösung dar. Folglich bildet

Re { y 1 ( x ) + y 2 ( x ) } und Im { y 1 ( x ) + y 2 ( x ) }

auch ein fundamentales Lösungssystem, dessen Komponenten reell sind, d.h.

Re { y 1 ( x ) + y 2 ( x ) } = e p x cos q x Im { y 1 ( x ) + y 2 ( x ) } = e p x sin q x .

Das neue reelle fundamentale Lösungssystem ist dann

y 1 ( x ) = e p x cos q x und y 2 ( x ) = e p x sin q x .

Also ist die reelle allgemeine Lösung von gegeben durch

y ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) = e p x ( c 1 cos q x + c 2 sin q x ) , c 1 , c 2 beliebig .
Hinweis
Durch Vorgabe reeller Anfangsbedingungen y ( x 0 ) = b 0 und y ' ( x 0 ) = b 1 muss die partikuläre Lösung notwendigerweise auch reell sein, d.h. die Konstanten c 1 und c 2 sind so bestimmt, dass eine reelle Lösung erfolgt.
Beispiel

Die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung

y ' ' - 2 y ' + 26 y = 0

hat konjugiert komplexe Nullstellen r 1 = 1 + 5 i und r 2 = 1 - 5 i . Die allgemeine Lösung von lautet somit

y ( x ) = c 1 e x cos 5 x + c 2 e x sin 5 x .
Abb.1
Fundamentallösungen

Fundamentallösungen von y ' ' - 2 y ' + 26 y = 0 : y 1 = e x cos 5 x (blau), y 2 = e x sin 5 x (rot)

Seite 4 von 5