zum Directory-modus

Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Charakteristische Gleichung mit einer reellen Nullstelle

Die charakteristische Gleichung einer homogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

hat eine reelle Nullstelle r , wenn a 1 2 - 4 a 0 = 0 , d.h.

r = - a 1 2

mit einer entsprechenden Lösung der Differenzialgleichung

y 1 ( x ) = e r x .

Dies ist nur eine Lösung. Für das Fundamentalsystem benötigt man aber zwei linear unabhängige Lösungen. Wir suchen eine zweite Lösung y 2 ( x ) in der Gestalt y ( x ) = u ( x ) y 1 ( x ) . Substituieren wir dies in , so entsteht

( u y 1 ) ' ' + a 1 ( u y 1 ) ' + a 0 u y 1 .

Nach Anwendung der Kettenregel erhält man

u y 1 ' ' + 2 u ' y 1 ' + u ' ' y 1 + a 1 ( u y 1 ' + u ' y 1 ) + a 0 u y 1 = 0 ( u r 2 + 2 u ' r + u ' ' + a 1 ( u r + u ' ) + a 0 u ) y 1 = 0.

Da a 1 = - 2 r und a 0 = a 1 2 / 4 = r 2 ist, ergibt sich

u ' ' ( x ) = 0 u ( x ) = c 2 x + c 1 , c 1 , c 2 beliebig .

Wir identifizieren eine zweite Lösung von als

y 2 ( x ) = x e r x .

Diese ist linear unabhängig von y 1 ( x ) , da die Wronski-Determinante

W = y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' = e r x

nie gleich null ist. Folglich ist die allgemeine Lösung von gegeben durch

y ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) = c 1 e r x + c 2 x e r x , c 1 , c 2 beliebig .
Beispiel

Die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung

y ' ' - 2 y ' + y = 0

hat eine doppelte reelle Nullstelle r = 1 . Die allgemeine Lösung von lautet somit

y ( x ) = c 1 e x + c 2 x e x .
Abb.1
Fundamentallösungen

Fundamentallösungen von y ' ' + y ' - 2 y = 0 : y 1 = e x (blau), y 2 = x e x (rot)

Seite 3 von 5