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Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Charakteristische Gleichung mit zwei reellen Nullstellen

Die charakteristische Gleichung einer homogenen linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

hat zwei verschiedene reelle Nullstellen r 1 , r 2 , wenn a 1 2 - 4 a 0 > 0 , d.h.

r 1 = - a 1 + ( a 1 2 - 4 a 0 ) 1 / 2 2 und r 2 = - a 1 - ( a 1 2 - 4 a 0 ) 1 / 2 2

mit den entsprechenden Lösungen der Differenzialgleichung

y 1 ( x ) = e r 1 x und y 2 ( x ) = e r 2 x .

Die Lösungen sind linear unabhängig voneinander, da die Wronski-Determinante

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' = ( r 2 - r 1 ) e ( r 1 + r 2 ) x

nie gleich null ist ( r 1 r 2 ). Folglich bilden y 1 ( x ) und y 2 ( x ) ein fundamentales Lösungssystem. Die allgemeine Lösung ist dann

y ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x , c 1 , c 2 beliebig .
Beispiel

Die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung

y ' ' + y ' - 2 y = 0

hat zwei reelle Nullstellen r 1 = 1 und r 2 = -2 . Die allgemeine Lösung von lautet somit

y ( x ) = c 1 e x + c 2 e -2 x .
Abb.1
Fundamentallösungen

Fundamentallösungen von y ' ' + y ' - 2 y = 0 : y 1 = e x (blau), y 2 = e -2 x (rot)

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