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Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Wir betrachten eine Differenzialgleichung der Form

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0.

Man löst diese Gleichung, indem man eine Exponentialfunktion

y ( x ) = e r x

als Lösung einsetzt und den Parameter r so wählt, dass sie der Gleichung genügt. Setzen wir in ein, so entsteht

r 2 e r x + r a 1 e r x + a 0 e r x = 0.

Da e r x für ein endliches x nie gleich null wird, folgt daraus eine quadratische Gleichung für r , die man als die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung bezeichnet.

Charakteristische Gleichung
r 2 + r a 1 + a 0 = 0.

Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind gegeben durch die Formel

r = - a 1 ± ( a 1 2 - 4 a 0 ) 1 / 2 2 .

Für die Lösungen der charakteristischen Gleichung gibt es drei Möglichkeiten, die vom Vorzeichen der Diskriminante

D = a 1 2 - 4 a 0

abhängen.

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