Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Wir betrachten eine Differenzialgleichung der Form

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}+{\mathit{a}}_1\mathit{y}\text{'}+{\mathit{a}}_0\mathit{y}=0.$$

Man löst diese Gleichung, indem man eine Exponentialfunktion

$$\mathit{y}(\mathit{x})={\text{e}}^{\mathit{r}\mathit{x}}$$

als Lösung einsetzt und den Parameter $\mathit{r}$ so wählt, dass sie der Gleichung genügt. Setzen wir in ein, so entsteht

$${\mathit{r}}^2{\text{e}}^{\mathit{r}\mathit{x}}+\mathit{r}{\mathit{a}}_1{\text{e}}^{\mathit{r}\mathit{x}}+{\mathit{a}}_0{\text{e}}^{\mathit{r}\mathit{x}}=0.$$

Da ${\text{e}}^{\mathit{r}\mathit{x}}$ für ein endliches $\mathit{x}$ nie gleich null wird, folgt daraus eine quadratische Gleichung für $\mathit{r}$, die man als die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung bezeichnet.

Charakteristische Gleichung

$${\mathit{r}}^2+\mathit{r}{\mathit{a}}_1+{\mathit{a}}_0=0.$$

Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind gegeben durch die Formel

$$\mathit{r}=\frac{-{\mathit{a}}_1\pm ({\mathit{a}}_1^2-4{\mathit{a}}_0{)}^{1/2}}{2}.$$

Für die Lösungen der charakteristischen Gleichung gibt es drei Möglichkeiten, die vom Vorzeichen der Diskriminante

$$\mathit{D}={\mathit{a}}_1^2-4{\mathit{a}}_0$$

abhängen.

• Fall 1 ($\mathit{D}>0$): zwei verschiedene reelle Nullstellen ${\mathit{r}}_1$, ${\mathit{r}}_2\in ℝ$
• Fall 2 ($\mathit{D}=0$): eine reelle Nullstelle $\mathit{r}\in ℝ$
• Fall 3 ($\mathit{D}<0$): zwei verschiedene komplexe Nullstellen ${\mathit{r}}_1$, ${\mathit{r}}_2\in ℂ$