zum Directory-modus

Einführung in die linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Beispiel: Freie Schwingungen

Wir betrachten die freien Schwingungen eines Massenpunktes in einer Dimension an einer Feder:

Abb.1
Massenpunkt an Feder

Die von der Feder auf die Masse ausgeübte Kraft ist

F = i F x = - k ( x - x 0 ) i .

An der Stelle r 0 = x 0 i = 0 ist die Feder entspannt. Die Bewegungsgleichung des Massenpunktes ist durch das Newton´sche Gesetz gegeben:

m d 2 x d t 2 = - k x d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 , wobei ω 0 2 = k m .

Eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist jede Funktion x ( t ) , die die Gleichung erfüllt. Es ist ersichtlich, dass eine solche Funktion bis auf konstante Faktoren mit ihrer zweiten Ableitung übereinstimmen muss. Diese Bedingung wird z.B. von den Kreisfunktionen erfüllt.

Ansatz

(a) x ( t ) = c 1 sin ω 0 t d x d t = ω 0 c 1 cos ω 0 t d 2 x d t 2 = - ω 0 2 c 1 sin ω 0 t (b) x ( t ) = c 2 cos ω 0 t d x d t = - ω 0 c 2 sin ω 0 t d 2 x d t 2 = - ω 0 2 c 2 cos ω 0 t ,

c 1 und c 2 sind beliebige Konstanten. Man sieht, dass die Differenzialgleichung in beiden Fällen (a) und (b) erfüllt ist. Die Gleichung wird ebenso durch die Summe von (a) mit (b) erfüllt:

x ( t ) = c 1 sin ω 0 t + c 2 cos ω 0 t .

Diese Lösung beschreibt erwartungsgemäß eine periodische Bewegung der Masse mit Kreisfrequenz ω 0 . Diese Differenzialgleichung lässt sich auch durch einen Potenzreihenansatz lösen.

Wie bestimmt man die Konstanten c 1 und c 2 ?

Um die Bewegung der Masse genauer zu bestimmen, müssen die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Nehmen wir an, dass sich zum Zeitpunkt t = 0 die Masse an der Stelle x 0 = 0 befindet, wo die Kraft gleich null ist. Was dann passiert, hängt davon ab, welche Geschwindigkeit v 0 die Masse bei t = 0 hat. Folglich brauchen wir zwei Anfangsbedingungen, um die Bewegung eindeutig zu bestimmen. Daher enthält die Lösung zwei beliebige Konstanten. Wenn v 0 gleich null ist, bleibt die Masse in Ruhe.

x ( 0 ) = x 0 = 0 und v ( 0 ) = v 0 = 0 x ( t ) = 0 .

Wenn v 0 nicht gleich null ist:

x ( 0 ) = c 1 sin ω 0 0 + c 2 cos ω 0 0 = 0 c 2 = 0.

Daraus folgt

d x ( 0 ) d t = ω 0 c 1 cos ω 0 0 = v 0 c 1 = v 0 ω 0 .

Die Lösung für die gegebenen Anfangsbedingungen ist

x ( t ) = v 0 ω 0 sin ω 0 t .

Komplexe Lösungsfunktionen

Die komplexen Exponentialfunktionen erfüllen die Differenzialgleichung auch:

x ( t ) = c + e + i ω 0 t + c - e - i ω 0 t .

Wegen

e ± i ω 0 t = cos ω 0 t ± i sin ω 0 t

lassen sich beide Lösungen ineinander überführen. Die Konstanten c + und c - sind im allgemeinen komplexe Zahlen. Bei Anpassung an reelle Anfangsbedingungen nehmen c + und c - solche Werte an, dass die Lösung reell wird, was diese aus physikalischen Gründen auch sein muss.

Wenn die Masse sich nicht reibungslos bewegt, zeigt das System gedämpfte freie Schwingungen. Wenn zusätzlich eine von außen angelegte Kraft auf die Masse wirkt, zeigt das System gedämpfte erzwungene Schwingungen.

Seite 3 von 3>