zum Directory-modus

Einführung in die linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung: Einführung

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung in impliziter Form hat die Gestalt

G x , y , y ' , y ' ' = 0 ,

wobei y ( x ) die unbekannte Funktion, y ' , y ' ' ihre Ableitungen und x die unabhängige Variable sind. Die Gleichung ist von zweiter Ordnung, da y ' ' die höchste auftretende Ordnung der Ableitungen von y ist.

Beispiel: Newton´sches Gesetz

Ändert sich der Impuls eines Massenpunktes, so erfährt er eine Kraft. Die Impulsänderung ist leicht erkennbar an einer Massen- oder Geschwindigkeitsänderung ( Δ m resp. Δ v ), also

F = lim Δ t 0 m ( t + Δ t ) v ( t + Δ t ) - m ( t ) v ( t ) Δ t oder F = d d t ( m v ) .

Man kann umgekehrt die Kraft F vorgeben und dann die Frage stellen: Welche Positionen r ( t ) durchläuft ein Massenpunkt im Verlauf der Zeit, wenn er sich zur Zeit t = 0 am Ort P ( x 0 , y 0 , z 0 ) befand und er sich unter dem Einfluß der Gesamtkraft F (gegebenfalls einer Summe von Kräften) bewegt? Wir haben:

v = d r d t , m = konst. r = x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) .

Die drei Bewegungsgleichungen sind also

m d 2 x d t 2 = F x m d 2 y d t 2 = F y m d 2 z d t 2 = F z Anfangsbedingungen: x ( 0 ) = x 0 y ( 0 ) = y 0 z ( 0 ) = z 0 .

Die Bestimmung der Funktionen x ( t ) , y ( t ) und z ( t ) bezeichnet man als Lösung (oder Integration) der Bewegungsgleichung. Da Ableitungen zweiter Ordnung nach der Zeit auftreten, liegt eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung vor.

Seite 2 von 3