Einführung in die linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung: Überblick
Eine gewöhnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung hat die Form
Zur Bestimmung einer Lösung gehören zwei Anfangsbedingungen:
Ohne Kenntnis der Voraussetzungen für die Funktionen , und lässt sich (1) im Allgemeinen schwer lösen. Viele Differenzialgleichungen, die in Physik und Chemie vorkommen, können nur durch einen Potenzreihen-Ansatz, aus dem neue Funktionen entstehen, gelöst werden; z.B. besitzt die Legendre´sche Differenzialgleichung
die so genannte Legendre´schen Polynome als Lösungsfunktionen.
Eine wichtige Klasse von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung hat konstante Koeffizienten, d.h. die Funktionen und in sind konstant:
Solche Gleichungen beschreiben z.B. freie Schwingungen, wenn das Störglied gleich null ist, und erzwungene Schwingungen, wenn das Störglied ungleich null ist.
In manchen Fällen gibt man statt Anfangsbedingungen Randbedingungen an:
Hierbei ist die Gleichung nur für bestimmte Werte lösbar (sog. Eigenwerte einer bestimmten Konstante).