Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung: Überblick

Eine gewöhnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung hat die Form

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}+{\mathit{p}}_1(\mathit{x})\mathit{y}\text{'}+{\mathit{p}}_0(\mathit{x})\mathit{y}=\mathit{q}(\mathit{x}).$$

Zur Bestimmung einer Lösung gehören zwei Anfangsbedingungen:

$$\mathit{y}({\mathit{x}}_0)={\mathit{b}}_0\text{und}\mathit{y}\text{'}({\mathit{x}}_0)={\mathit{b}}_1.$$

Ohne Kenntnis der Voraussetzungen für die Funktionen ${\mathit{p}}_1(\mathit{x})$, ${\mathit{p}}_0(\mathit{x})$ und $\mathit{q}(\mathit{x})$ lässt sich (1) im Allgemeinen schwer lösen. Viele Differenzialgleichungen, die in Physik und Chemie vorkommen, können nur durch einen Potenzreihen-Ansatz, aus dem neue Funktionen entstehen, gelöst werden; z.B. besitzt die Legendre´sche Differenzialgleichung

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}-\frac{2\mathit{x}}{1-{\mathit{x}}^2}\mathit{y}\text{'}+\frac{\mathit{l}(\mathit{l}+1)}{1-{\mathit{x}}^2}\mathit{y}=0$$

die so genannte Legendre´schen Polynome als Lösungsfunktionen.

Eine wichtige Klasse von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung hat konstante Koeffizienten, d.h. die Funktionen ${\mathit{p}}_1(\mathit{x})$ und ${\mathit{p}}_0(\mathit{x})$ in sind konstant:

$$\mathit{y}\text{'}\text{'}+{\mathit{a}}_1\mathit{y}\text{'}+{\mathit{a}}_0\mathit{y}=\mathit{q}(\mathit{x}).$$

Solche Gleichungen beschreiben z.B. freie Schwingungen, wenn das Störglied $\mathit{q}(\mathit{x})$ gleich null ist, und erzwungene Schwingungen, wenn das Störglied ungleich null ist.

In manchen Fällen gibt man statt Anfangsbedingungen Randbedingungen an:

$$\mathit{y}({\mathit{x}}_1)={\mathit{b}}_1\text{und}\mathit{y}({\mathit{x}}_2)={\mathit{b}}_2.$$

Hierbei ist die Gleichung nur für bestimmte Werte lösbar (sog. Eigenwerte einer bestimmten Konstante).