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Einführung in die linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung: Überblick

Eine gewöhnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung hat die Form

y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = q ( x ) .

Zur Bestimmung einer Lösung gehören zwei Anfangsbedingungen:

y ( x 0 ) = b 0 und y ' ( x 0 ) = b 1 .

Ohne Kenntnis der Voraussetzungen für die Funktionen p 1 ( x ) , p 0 ( x ) und q ( x ) lässt sich (1) im Allgemeinen schwer lösen. Viele Differenzialgleichungen, die in Physik und Chemie vorkommen, können nur durch einen Potenzreihen-Ansatz, aus dem neue Funktionen entstehen, gelöst werden; z.B. besitzt die Legendre´sche Differenzialgleichung

y ' ' - 2 x 1 - x 2 y ' + l ( l + 1 ) 1 - x 2 y = 0

die so genannte Legendre´schen Polynome als Lösungsfunktionen.

Eine wichtige Klasse von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung hat konstante Koeffizienten, d.h. die Funktionen p 1 ( x ) und p 0 ( x ) in sind konstant:

y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = q ( x ) .

Solche Gleichungen beschreiben z.B. freie Schwingungen, wenn das Störglied q ( x ) gleich null ist, und erzwungene Schwingungen, wenn das Störglied ungleich null ist.

In manchen Fällen gibt man statt Anfangsbedingungen Randbedingungen an:

y ( x 1 ) = b 1 und y ( x 2 ) = b 2 .

Hierbei ist die Gleichung nur für bestimmte Werte lösbar (sog. Eigenwerte einer bestimmten Konstante).

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