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Lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung

Beispiel: Folgereaktion

Wir betrachten eine Folgereaktion mit einem Geschwindigkeitsgesetz erster Ordnung, bei der ein Stoff A in einen Stoff B , und dieser wiederum in einen Stoff C umgewandelt wird

A B C .

Dieser Vorgang wird durch drei Differenzialgleichungen beschrieben

d [ A ] d t = - k 1 [ A ] , d [ B ] d t = k 1 [ A ] - k 2 [ B ] d [ C ] d t = k 2 [ B ] .

[ X ] bezeichnet die jeweilige Konzentration des Stoffes, k 1 , k 2 sind die Reaktionsgeschwindigkeitskonstanten. Ein Beispiel dafür ist der radioaktive Zerfall von Mutter- und Tochtersubstanz. Nehmen wir an, dass die Anfangskonzentrationen (zur Zeit t = 0 ) [ B ] 0 bzw. [ C ] 0 von B bzw. C null sind und die Anfangskonzentration von A einen Wert a beträgt, so sind die jeweiligen Konzentrationen zu einer beliebigen Zeit t gegeben durch

[ A ] = [ A ] 0 - x = a - x [ B ] = y , [ B ] 0 = 0 [ C ] = x - y , [ C ] 0 = 0 .

Die Gleichungen für die obigen Konzentrationen enthalten zwei Veränderliche x [ B ] + [ C ] und y [ B ] . Beachten Sie, dass die Gesamtzahl von Teilchen während des Vorgangs erhalten bleibt

[ A ] + [ B ] + [ C ] = ( a - x ) + y + ( x - y ) = a .

Wir erhalten ein System von zwei linearen Differenzialgleichungen erster Ordnung für x und y

d ( a - x ) d t = - k 1 ( a - x ) d y d t = k 1 ( a - x ) - k 2 y mit x ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = 0 .

Die dritte Gleichung für [ C ] brauchen wir nicht, da [ C ] schon von x und y bestimmt ist. Es gibt zwar drei Unbekannte, aber wegen der Nebenbedingung sind nur zwei davon unabhängig.

Hinweis
Die Lösung eines Gleichungssystems erfolgt allgemein durch seine Umstellung in eine Matrixform und eine anschließende Koordinatentransformation, um seine Variablen zu entkoppeln (siehe Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen erster Ordnung). Aber hier wird das Gleichungssystem anders gelöst.

Die erste Gleichung ist trennbar mit der Lösung

a - x = a e - k 1 t .

Deshalb ist die Konzentration von A gegeben durch

[ A ] = [ A ] 0 e - k 1 t .

Nach Substitution von in die zweite Gleichung erhalten wir eine lineare inhomogene Differenzialgleichung

d y d t + p ( t ) y = q ( t ) mit p ( t ) = k 2 , q ( t ) = a k 1 e - k 1 t .

Die allgemeine Lösung mittels der Methode der Variation der Konstanten ist

y ( t ) = exp - p ( t ) d t α + q ( t ) exp p ( t ) d t d t = exp - k 2 d t α + a k 1 e - k 1 t exp k 2 d t d t = e - k 2 t α + a k 1 e ( k 2 - k 1 ) t d t

woraus folgt

y ( t ) = e - k 2 t α + a k 1 k 2 - k 1 e ( k 2 - k 1 ) t wenn k 1 k 2 e - k t ( α + a k t ) wenn k 1 = k 2 = k .

Die Anfangsbedingung y ( 0 ) = 0 bestimmt die Konstante α

α = - a k 1 k 2 - k 1 wenn k 1 k 2 0 wenn k 1 = k 2 = k

und folglich ist die gesuchte partikuläre Lösung

y ( t ) = [ B ] = [ A ] 0 k 1 k 1 - k 2 e - k 2 t - e - k 1 t wenn k 1 k 2 [ A ] 0 k t e - k t wenn k 1 = k 2 = k .

Die Konzentration von C ist

[ C ] = x - y .

Daraus folgt

[ C ] = [ A ] 0 k 2 k 1 - k 2 e - k 1 t - k 1 k 1 - k 2 e - k 2 t + 1 wenn k 1 k 2 [ A ] 0 1 - ( 1 + k t ) e - k t wenn k 1 = k 2 = k .

[ B ] besitzt ein Maximum, wenn

d y ( t ) d t = 0

ist. Führen wir die Differenziation durch und setzen wir das Ergebnis gleich null, so ergibt sich für k 1 k 2

0 = [ A ] 0 k 1 k 1 - k 2 - k 2 e - k 2 t + k 1 e - k 1 t 0 = - k 2 e - k 2 t + k 1 e - k 1 t ,

und für k 1 = k 2 = k

0 = [ A ] 0 k e - k t - [ A ] 0 k 2 t e - k t 0 = 1 - k t ,

oder

t max = ln k 1 - ln k 2 k 1 - k 2 wenn k 1 k 2 1 k wenn k 1 = k 2 = k .
Abb.1
Relative Konzentrationen: [ A ] (rot), [ B ] (blau), [ C ] (grün), k 1 = 2 , k 2 = 1 , a = 1 mit t max = ln 2 = 0,693
Abb.2
Folgereaktion: k 1 k 2
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