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Lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung

Verfahren der Variation der Konstanten

Wir suchen die allgemeine Lösung der linearen inhomogenen Differenzialgleichung erster Ordnung

y ' + p ( x ) y = q ( x ) .

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y ' + p ( x ) y = 0 ist

y 0 ( x ) = C 0 exp - p ( x ) d x .

Nach einer ursprünglich von Lagrange und Euler entwickelten Methode ersetzt man die Konstante C 0 durch eine unbekannte Funktion C ( x ) , so dass

y ( x ) = C ( x ) exp - p ( x ) d x .

die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist (d.h. die Konstante C 0 wird variiert). Setzen wir den Ansatz in die inhomogene Differenzialgleichung ein, so ergibt sich:

C ' ( x ) - C ( x ) p ( x ) exp - p ( x ) d x + C ( x ) p ( x ) exp - p ( x ) d x = q ( x )

oder

C ' ( x ) = q ( x ) exp p ( x ) d x .

Durch Integration folgt

C ( x ) = q ( x ) exp p ( x ) d x d x + C .

Substituieren wir dies in , so erhalten wir

y ( x ) = exp - p ( x ) d x q ( x ) exp p ( x ) d x d x + C exp - p ( x ) d x = y p ( x ) + y 0 ( x ) ,

wobei y 0 ( x ) die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und y p ( x ) die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist.

Für das Anfangswertproblem

y ' + p ( x ) y = q ( x ) mit y ( x 0 ) = y 0

machen wir den Ansatz

y ( x ) = C ( x ) exp - x 0 x p ( t ) d t ,

woraus man erhält

C ' ( x ) = q ( x ) exp x 0 x p ( t ) d t ;

und somit

C ( x ) = C ( x 0 ) + x 0 x q ( s ) exp x 0 x p ( t ) d t d s

mit C ( x 0 ) = y ( x 0 ) = y 0 . Folglich hat die partikuläre Lösung

y p ( x ) = exp - x 0 x p ( t ) d t y 0 + x 0 x q ( s ) exp x 0 s p ( t ) d t d s .
Hinweis
Man erkennt als eine Bernoulli´sche Differenzialgleichung mit α = 0
( q ( x ) - p ( x ) y ) d x - d y = 0 ,
die man mit dem integrierenden Faktor
u ( x ) = exp p ( x ) d x
multipliziert, um eine exakte Differenzialgleichung
u ( x ) ( q ( x ) - p ( x ) y ) d x - u ( x ) d y = 0
zu erhalten.
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