Homogener Fall

Wir dividieren die homogene Gleichung durch $\mathit{y}$ und integrieren dann nach $\mathit{x}$:

$$\int \frac{\mathit{y}\text{'}}{\mathit{y}}\text{d}\mathit{x}+\int \mathit{p}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}+\mathit{C}=0$$

($\mathit{C}$ ist eine beliebige Konstante). Da $\mathit{y}\text{'}\text{d}\mathit{x}=\text{d}\mathit{y}$, erhalten wir

$$ln\mathit{y}=-\int \mathit{p}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}-\mathit{C}.$$

Nach Umformung ergibt sich die allgemeine Lösung:

$$\mathit{y}(\mathit{x})={\mathit{C}}_{0}exp(-\int \mathit{p}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x})\text{mit}{\mathit{C}}_0=exp(-\mathit{C}).$$

Für das Anfangswertproblem $\mathit{y}({\mathit{x}}_0)={\mathit{y}}_0$ ist

$$\underset{{\mathit{x}}_0}{\overset{\mathit{x}}{\int }}\frac{\mathit{y}\text{'}}{\mathit{y}}\text{d}\mathit{x}+\underset{{\mathit{x}}_0}{\overset{\mathit{x}}{\int }}\mathit{p}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}=0$$

oder

$$\mathit{y}(\mathit{x})={\mathit{y}}_{0}exp-(\underset{{\mathit{x}}_0}{\overset{\mathit{x}}{\int }}\mathit{p}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}).$$

Beispiel

Das Anfangswertproblem

$$\mathit{y}\text{'}=\mathit{y}\text{mit}\mathit{y}(0)=1$$

hat die partikuläre Lösung

$$\mathit{y}(\mathit{x})=1\cdot exp\underset{0}{\overset{\mathit{x}}{\int }}1\text{d}\mathit{x}={\text{e}}^{\mathit{x}}.$$

Inhomogener Fall

Theorem

Die allgemeine Lösung $\mathit{y}(\mathit{x})$ einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung erster Ordnung

$$\mathit{y}\text{'}+\mathit{p}(\mathit{x})\mathit{y}=\mathit{q}(\mathit{x})$$

ist gleich der allgemeinen Lösung ${\mathit{y}}_0(\mathit{x})$ der zugehörigen homogenen Gleichung plus einer partikulären Lösung ${\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x})$ der inhomogenen Gleichung:

$$\mathit{y}(\mathit{x})={\mathit{y}}_0(\mathit{x})+{\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x}),$$

wobei

$$\begin{array}{rclcl}{\mathit{y}}_{\text{p}}\text{'}+\mathit{p}(\mathit{x}){\mathit{y}}_{\text{p}}& =& \mathit{q}(\mathit{x})& & \text{inhomogen}\\ {\mathit{y}}_0\text{'}+\mathit{p}(\mathit{x}){\mathit{y}}_0& =& 0& & \text{homogen}.\end{array}$$

Aus der Addition der homogenen und inhomogenen Gleichung ersieht man, dass ${\mathit{y}}_0(\mathit{x})+{\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x})$ eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist:

$$({\mathit{y}}_0(\mathit{x})+{\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x}))\text{'}+\mathit{p}(\mathit{x})({\mathit{y}}_0(\mathit{x})+{\mathit{y}}_{\text{p}}(\mathit{x}))=\mathit{q}(\mathit{x}).$$

Man versucht, die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung zu erraten. Andernfalls kann man die Methode der Variation der Konstanten anwenden.