Lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung
Lineare Differenzialgleichungen
Eine wichtige Klasse linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung hat die Form:
Homogener Fall
Wir dividieren die homogene Gleichung durch und integrieren dann nach :
( ist eine beliebige Konstante). Da , erhalten wir
Nach Umformung ergibt sich die allgemeine Lösung:
Für das Anfangswertproblem ist
oder
- Beispiel
Das Anfangswertproblem
hat die partikuläre Lösung
Inhomogener Fall
- Theorem
- Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung erster Ordnung
- ist gleich der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung plus einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung:
- wobei
Aus der Addition der homogenen und inhomogenen Gleichung ersieht man, dass eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist:
Man versucht, die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung zu erraten. Andernfalls kann man die Methode der Variation der Konstanten anwenden.