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Lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung

Lineare Differenzialgleichungen

Eine wichtige Klasse linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung hat die Form:

y ' + p ( x ) y = q ( x ) inhomogen y ' + p ( x ) y = 0 homogen .

Homogener Fall

Wir dividieren die homogene Gleichung durch y und integrieren dann nach x :

y ' y d x + p ( x ) d x + C = 0

( C ist eine beliebige Konstante). Da y ' d x = d y , erhalten wir

ln y = - p ( x ) d x - C .

Nach Umformung ergibt sich die allgemeine Lösung:

y ( x ) = C 0 exp ( - p ( x ) d x ) mit C 0 = exp ( - C ) .

Für das Anfangswertproblem y ( x 0 ) = y 0 ist

x 0 x y ' y d x + x 0 x p ( x ) d x = 0

oder

y ( x ) = y 0 exp - ( x 0 x p ( x ) d x ) .
Beispiel

Das Anfangswertproblem

y ' = y mit y ( 0 ) = 1

hat die partikuläre Lösung

y ( x ) = 1 exp 0 x 1 d x = e x .

Inhomogener Fall

Theorem
Die allgemeine Lösung y ( x ) einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung erster Ordnung
y ' + p ( x ) y = q ( x )
ist gleich der allgemeinen Lösung y 0 ( x ) der zugehörigen homogenen Gleichung plus einer partikulären Lösung y p ( x ) der inhomogenen Gleichung:
y ( x ) = y 0 ( x ) + y p ( x ) ,
wobei
y p ' + p ( x ) y p = q ( x ) inhomogen y 0 ' + p ( x ) y 0 = 0 homogen .

Aus der Addition der homogenen und inhomogenen Gleichung ersieht man, dass y 0 ( x ) + y p ( x ) eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist:

( y 0 ( x ) + y p ( x ) ) ' + p ( x ) ( y 0 ( x ) + y p ( x ) ) = q ( x ) .

Man versucht, die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung zu erraten. Andernfalls kann man die Methode der Variation der Konstanten anwenden.

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