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Homogene und exakte gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung

Beispiel

x d y d x = y 3 x 2 + y mit y ( 1 2 ) = 1.

Man erkennt, dass die Gleichung die homogene Form

d y d x = g ( y x ) .

besitzt. Durch die Substitution y = u x erhält man

d u u 3 = d x x .

Durch Integration folgt

- 1 2 u 2 = ln x + C .

Damit ist die allgemeine Lösung

y = u x = x -1 2 ln x + 2 C 1 2 .

Für die Anfangsbedingung y ( 1 2 ) = 1 folgt

1 = 1 2 -1 2 ln ( 1 / 2 ) + 2 C 1 2 C = - 1 8 - ln ( 1 / 2 ) .
Abb.1
Partikuläre Lösung für y ( 1 / 2 ) = 1 mit eingezeichnetem Richtungsfeld
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