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Homogene und exakte gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung

Exakte Differenzialgleichungen

Eine exakte gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung ist in der Form

A ( x , y ) d x + B ( x , y ) d y = 0 mit A y = B x

darstellbar. Deshalb existiert eine Funktion F ( x , y ) , deren totales Differenzial die Differenzialgleichung

d F = F x d x + F y d y = A ( x , y ) d x + B ( x , y ) d y = 0

ergibt. Die Integrierbarkeit von F ( x , y ) folgt aus ihrer Stetigkeit:

2 F x y = 2 F y x A y = B x .

Also ist die allgemeine Lösung:

F ( x , y ) = C .
Beispiel
( y + e x ) d x + x d y = 0

Diese Differenzialgleichung ist weder trennbar noch homogen, aber sie ist exakt, da

y y + e x = 1 = x x .

Die gesuchte Funktion F ( x , y ) erfüllt folgende Bedingungen:

F x = y + e x F ( x , y ) = x y + e x + g ( y ) F y = x F ( x , y ) = x y + h ( x ) .

Daraus entnehmen wir: g ( y ) = 0 und h ( x ) = e x . Die allgemeine Lösung ist dann

F ( x , y ) = x y + e x = C y ( x ) = C - e x x .

Wenn die Differenzialgleichung

A ( x , y ) d x + B ( x , y ) d y = 0

nicht exakt ist, kann man mitunter eine Funktion u ( x , y ) suchen, mit der die Differenzialgleichung multipliziert werden muss, um eine exakte Gleichung zu erhalten, d.h.:

u ( x , y ) A ( x , y ) d x + u ( x , y ) B ( x , y ) d y = 0

ist exakt für eine unbekannte Funktion u ( x , y ) . Man bezeichnet eine solche Funktion u ( x , y ) als integrierenden Faktor. Sie muss folgende Bedingung erfüllen:

( u A ) y = ( u B ) x u A y + A u y = u B x + B u x .
Beispiel
p ( x ) y ' + q ( x ) y = r ( x ) y α

Aufgrund der α -ten Potenz auf der rechten Seite von ist die Differenzialgleichung nicht linear für α 1 . Allerdings lässt sie sich mittels eines integrierenden Faktors lösen. In Differenzialform lautet :

( q ( x ) y - r ( x ) y α ) d x + p ( x ) d y = 0.

Es wird ein integrierender Faktor u ( x , y ) gesucht, so dass aus

u ( q ( x ) y - r ( x ) y α ) d x + u p ( x ) d y = 0

eine exakte Differenzialgleichung mit

( u p ) x = ( u q y - u r y α ) y

resultiert. Als Ansatz nehmen wir

u ( x , y ) = f ( x ) y b ,

wobei f ( x ) und b zu bestimmen sind. und ergeben

( f p y b ) x = ( f q y b +1 - f r y α + b ) y f ' p y b + f p ' y b = ( b +1 ) f q y b - ( α + b ) f r y α + b -1 .

Setzt man b = - α ein, so ergibt

f ' p y - α + f p ' y - α = f q ( 1 - α ) y - α .

Dividiert man durch f p y - α , so erhält man eine trennbare Differenzialgleichung in f

f ' f = - p ' p + ( 1 - α ) q p .

Integriert man nach x , so ergibt sich:

ln f = - ln p + ( 1 - α ) q p d x

oder

f ( x ) = 1 p ( x ) exp ( 1 - α ) q ( x ) p ( x ) d x .

Und somit ist der integrierende Faktor

u ( x , y ) = y - α p ( x ) exp ( 1 - α ) q ( x ) p ( x ) d x .

So wird z.B. die Differenzialgleichung

y ' - y x = y -1 / 2

als eine Bernoulli´sche Differenzialgleichung mit p = 1 , q = -1 / x , r = 1 und α = -1 / 2 identifiziert. In Differenzialform lautet :

y -1 / 2 + y x d x - d y = 0.

Multipliziert man mit einem integrierenden Faktor

u ( x , y ) = y 1 / 2 exp - 3 2 1 x d x = y 1 / 2 x -3 / 2 ,

so erhält man eine exakte Differenzialgleichung

( x -3 / 2 + x -5 / 2 y 3 / 2 ) d x - y 1 / 2 x -3 / 2 d y = 0 = F x d x + F y d y

mit der allgemeinen Lösung

F ( x , y ) = C .

Die gesuchte Funktion F ( x , y ) erfüllt folgende Bedingungen:

F x = x -3 / 2 + x -5 / 2 y 3 / 2 F ( x , y ) = -2 x -1 / 2 - 2 3 x -3 / 2 y 3 / 2 + g ( y ) F y = - y 1 / 2 x -3 / 2 F ( x , y ) = - 2 3 x -3 / 2 y 3 / 2 + h ( x ) .

Daraus entnehmen wir: g ( y ) = 0 und h ( x ) = -2 x -1 / 2 . Dann ist die allgemeine Lösung von in impliziter Form:

-2 x -1 / 2 - 2 3 x -3 / 2 y 3 / 2 = C .
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