Exakte Differenzialgleichungen

Eine exakte gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung ist in der Form

$$\mathit{A}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{x}+\mathit{B}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{y}=0\text{mit}\frac{\partial \mathit{A}}{\partial \mathit{y}}=\frac{\partial \mathit{B}}{\partial \mathit{x}}$$

darstellbar. Deshalb existiert eine Funktion $\mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})$, deren totales Differenzial die Differenzialgleichung

$$\text{d}\mathit{F}=\frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{x}}\text{d}\mathit{x}+\frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{y}}\text{d}\mathit{y}=\mathit{A}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{x}+\mathit{B}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{y}=0$$

ergibt. Die Integrierbarkeit von $\mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})$ folgt aus ihrer Stetigkeit:

$$\frac{{\partial }^2\mathit{F}}{\partial \mathit{x}\partial \mathit{y}}=\frac{{\partial }^2\mathit{F}}{\partial \mathit{y}\partial \mathit{x}}\Rightarrow \frac{\partial \mathit{A}}{\partial \mathit{y}}=\frac{\partial \mathit{B}}{\partial \mathit{x}}.$$

Also ist die allgemeine Lösung:

$$\mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{C}.$$

Beispiel

$$(\mathit{y}+{\text{e}}^{\mathit{x}})\text{d}\mathit{x}+\mathit{x}\text{d}\mathit{y}=0$$

Diese Differenzialgleichung ist weder trennbar noch homogen, aber sie ist exakt, da

$$\frac{\partial }{\partial \mathit{y}}\left(\mathit{y}+{\text{e}}^{\mathit{x}}\right)=1=\frac{\partial }{\partial \mathit{x}}\left(\mathit{x}\right).$$

Die gesuchte Funktion $\mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})$ erfüllt folgende Bedingungen:

$$\begin{array}{rclcl}\frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{x}}& =& \mathit{y}+{\text{e}}^{\mathit{x}}& \Rightarrow & \mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{x}\mathit{y}+{\text{e}}^{\mathit{x}}+\mathit{g}(\mathit{y})\\ \frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{y}}& =& \mathit{x}& \Rightarrow & \mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{x}\mathit{y}+\mathit{h}(\mathit{x}).\end{array}$$

Daraus entnehmen wir: $\mathit{g}(\mathit{y})=0$ und $\mathit{h}(\mathit{x})={\text{e}}^{\mathit{x}}$. Die allgemeine Lösung ist dann

$$\mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{x}\mathit{y}+{\text{e}}^{\mathit{x}}=\mathit{C}\Rightarrow \mathit{y}(\mathit{x})=\frac{\mathit{C}-{\text{e}}^{\mathit{x}}}{\mathit{x}}.$$

Wenn die Differenzialgleichung

$$\mathit{A}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{x}+\mathit{B}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{y}=0$$

nicht exakt ist, kann man mitunter eine Funktion $\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})$ suchen, mit der die Differenzialgleichung multipliziert werden muss, um eine exakte Gleichung zu erhalten, d.h.:

$$\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})\mathit{A}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{x}+\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})\mathit{B}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{y}=0$$

ist exakt für eine unbekannte Funktion $\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})$. Man bezeichnet eine solche Funktion $\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})$ als integrierenden Faktor. Sie muss folgende Bedingung erfüllen:

$$\frac{\partial (\mathit{u}\mathit{A})}{\partial \mathit{y}}=\frac{\partial (\mathit{u}\mathit{B})}{\partial \mathit{x}}\Rightarrow \mathit{u}\frac{\partial \mathit{A}}{\partial \mathit{y}}+\mathit{A}\frac{\partial \mathit{u}}{\partial \mathit{y}}=\mathit{u}\frac{\partial \mathit{B}}{\partial \mathit{x}}+\mathit{B}\frac{\partial \mathit{u}}{\partial \mathit{x}}.$$

Beispiel

$$\mathit{p}(\mathit{x})\mathit{y}\text{'}+\mathit{q}(\mathit{x})\mathit{y}=\mathit{r}(\mathit{x}){\mathit{y}}^{\alpha }$$

Aufgrund der $\alpha$-ten Potenz auf der rechten Seite von ist die Differenzialgleichung nicht linear für $\alpha \ne 1$. Allerdings lässt sie sich mittels eines integrierenden Faktors lösen. In Differenzialform lautet :

$$(\mathit{q}(\mathit{x})\mathit{y}-\mathit{r}(\mathit{x}){\mathit{y}}^{\alpha })\text{d}\mathit{x}+\mathit{p}(\mathit{x})\text{d}\mathit{y}=0.$$

Es wird ein integrierender Faktor $\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})$ gesucht, so dass aus

$$\mathit{u}(\mathit{q}(\mathit{x})\mathit{y}-\mathit{r}(\mathit{x}){\mathit{y}}^{\alpha })\text{d}\mathit{x}+\mathit{u}\mathit{p}(\mathit{x})\text{d}\mathit{y}=0$$

eine exakte Differenzialgleichung mit

$$\frac{\partial (\mathit{u}\mathit{p})}{\partial \mathit{x}}=\frac{\partial (\mathit{u}\mathit{q}\mathit{y}-\mathit{u}\mathit{r}{\mathit{y}}^{\alpha })}{\partial \mathit{y}}$$

resultiert. Als Ansatz nehmen wir

$$\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{f}(\mathit{x}){\mathit{y}}^{\mathit{b}},$$

wobei $\mathit{f}(\mathit{x})$ und $\mathit{b}$ zu bestimmen sind. und ergeben

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial (\mathit{f}\mathit{p}{\mathit{y}}^{\mathit{b}})}{\partial \mathit{x}}& =& \frac{\partial (\mathit{f}\mathit{q}{\mathit{y}}^{\mathit{b}\mathrm{+1}}-\mathit{f}\mathit{r}{\mathit{y}}^{\alpha +\mathit{b}})}{\partial \mathit{y}}\\ \mathit{f}\text{'}\mathit{p}{\mathit{y}}^{\mathit{b}}+\mathit{f}\mathit{p}\text{'}{\mathit{y}}^{\mathit{b}}& =& (\mathit{b}\mathrm{+1})\mathit{f}\mathit{q}{\mathit{y}}^{\mathit{b}}-(\alpha +\mathit{b})\mathit{f}\mathit{r}{\mathit{y}}^{\alpha +\mathit{b}-1}.\end{array}$$

Setzt man $\mathit{b}=-\alpha$ ein, so ergibt

$$\mathit{f}\text{'}\mathit{p}{\mathit{y}}^{-\alpha }+\mathit{f}\mathit{p}\text{'}{\mathit{y}}^{-\alpha }=\mathit{f}\mathit{q}(1-\alpha ){\mathit{y}}^{-\alpha }.$$

Dividiert man durch $\mathit{f}\mathit{p}{\mathit{y}}^{-\alpha }$, so erhält man eine trennbare Differenzialgleichung in $\mathit{f}$

$$\frac{\mathit{f}\text{'}}{\mathit{f}}=-\frac{\mathit{p}\text{'}}{\mathit{p}}+(1-\alpha )\frac{\mathit{q}}{\mathit{p}}.$$

Integriert man nach $\mathit{x}$, so ergibt sich:

$$ln\mathit{f}=-ln\mathit{p}+(1-\alpha )\int \frac{\mathit{q}}{\mathit{p}}\text{d}\mathit{x}$$

oder

$$\mathit{f}(\mathit{x})=\frac{1}{\mathit{p}(\mathit{x})}exp\left[(1-\alpha )\int \frac{\mathit{q}(\mathit{x})}{\mathit{p}(\mathit{x})}\text{d}\mathit{x}\right].$$

Und somit ist der integrierende Faktor

$$\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})=\frac{{\mathit{y}}^{-\alpha }}{\mathit{p}(\mathit{x})}exp\left[(1-\alpha )\int \frac{\mathit{q}(\mathit{x})}{\mathit{p}(\mathit{x})}\text{d}\mathit{x}\right].$$

So wird z.B. die Differenzialgleichung

$$\mathit{y}\text{'}-\frac{\mathit{y}}{\mathit{x}}={\mathit{y}}^{-1/2}$$

als eine Bernoulli´sche Differenzialgleichung mit $\mathit{p}=1$, $\mathit{q}=-1/\mathit{x}$, $\mathit{r}=1$ und $\alpha =-1/2$ identifiziert. In Differenzialform lautet :

$$\left({\mathit{y}}^{-1/2}+\frac{\mathit{y}}{\mathit{x}}\right)\text{d}\mathit{x}-\text{d}\mathit{y}=0.$$

Multipliziert man mit einem integrierenden Faktor

$$\mathit{u}(\mathit{x},\mathit{y})={\mathit{y}}^{1/2}exp\left[-\frac{3}{2}\int \frac{1}{\mathit{x}}\text{d}\mathit{x}\right]={\mathit{y}}^{1/2}{\mathit{x}}^{-3/2},$$

so erhält man eine exakte Differenzialgleichung

$$({\mathit{x}}^{-3/2}+{\mathit{x}}^{-5/2}{\mathit{y}}^{3/2})\text{d}\mathit{x}-{\mathit{y}}^{1/2}{\mathit{x}}^{-3/2}\text{d}\mathit{y}=0=\frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{x}}\text{d}\mathit{x}+\frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{y}}\text{d}\mathit{y}$$

mit der allgemeinen Lösung

$$\mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})=\mathit{C}.$$

Die gesuchte Funktion $\mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})$ erfüllt folgende Bedingungen:

$$\begin{array}{rclcl}\frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{x}}& =& {\mathit{x}}^{-3/2}+{\mathit{x}}^{-5/2}{\mathit{y}}^{3/2}& \Rightarrow & \mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})=-2{\mathit{x}}^{-1/2}-\frac{2}{3}{\mathit{x}}^{-3/2}{\mathit{y}}^{3/2}+\mathit{g}(\mathit{y})\\ \frac{\partial \mathit{F}}{\partial \mathit{y}}& =& -{\mathit{y}}^{1/2}{\mathit{x}}^{-3/2}& \Rightarrow & \mathit{F}(\mathit{x},\mathit{y})=-\frac{2}{3}{\mathit{x}}^{-3/2}{\mathit{y}}^{3/2}+\mathit{h}(\mathit{x}).\end{array}$$

Daraus entnehmen wir: $\mathit{g}(\mathit{y})=0$ und $\mathit{h}(\mathit{x})=-2{\mathit{x}}^{-1/2}$. Dann ist die allgemeine Lösung von in impliziter Form:

$$-2{\mathit{x}}^{-1/2}-\frac{2}{3}{\mathit{x}}^{-3/2}{\mathit{y}}^{3/2}=\mathit{C}.$$