Homogene und exakte gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung
Exakte Differenzialgleichungen
Eine exakte gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung ist in der Form
darstellbar. Deshalb existiert eine Funktion , deren totales Differenzial die Differenzialgleichung
ergibt. Die Integrierbarkeit von folgt aus ihrer Stetigkeit:
Also ist die allgemeine Lösung:
- Beispiel
Diese Differenzialgleichung ist weder trennbar noch homogen, aber sie ist exakt, da
Die gesuchte Funktion erfüllt folgende Bedingungen:
Daraus entnehmen wir: und . Die allgemeine Lösung ist dann
Wenn die Differenzialgleichung
nicht exakt ist, kann man mitunter eine Funktion suchen, mit der die Differenzialgleichung multipliziert werden muss, um eine exakte Gleichung zu erhalten, d.h.:
ist exakt für eine unbekannte Funktion . Man bezeichnet eine solche Funktion als integrierenden Faktor. Sie muss folgende Bedingung erfüllen:
- Beispiel
Aufgrund der -ten Potenz auf der rechten Seite von ist die Differenzialgleichung nicht linear für . Allerdings lässt sie sich mittels eines integrierenden Faktors lösen. In Differenzialform lautet :
Es wird ein integrierender Faktor gesucht, so dass aus
eine exakte Differenzialgleichung mit
resultiert. Als Ansatz nehmen wir
wobei und zu bestimmen sind. und ergeben
Setzt man ein, so ergibt
Dividiert man durch , so erhält man eine trennbare Differenzialgleichung in
Integriert man nach , so ergibt sich:
oder
Und somit ist der integrierende Faktor
So wird z.B. die Differenzialgleichung
als eine Bernoulli´sche Differenzialgleichung mit , , und identifiziert. In Differenzialform lautet :
Multipliziert man mit einem integrierenden Faktor
so erhält man eine exakte Differenzialgleichung
mit der allgemeinen Lösung
Die gesuchte Funktion erfüllt folgende Bedingungen:
Daraus entnehmen wir: und . Dann ist die allgemeine Lösung von in impliziter Form: