Homogene Differenzialgleichungen

In vielen Fällen sind die naturwissenschaftlich relevanten, gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung nicht trennbar. Durch Substitution einer Variablen entsteht in manchen Fällen eine trennbare Differenzialgleichung.

Eine spezielle Klasse von Differenzialgleichungen erster Ordnung, die man homogen nennt, ist immer trennbar.

Wir betrachten eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung der Form

$$\mathit{A}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{x}+\mathit{B}(\mathit{x},\mathit{y})\text{d}\mathit{y}=0$$

mit dem Ansatz, dass $\mathit{A}(\mathit{x},\mathit{y})$ und $\mathit{B}(\mathit{x},\mathit{y})$ homogene Funktionen $\mathit{p}$-ten bzw. $\mathit{q}$-ten Grades sind. Durch die Substitution $\mathit{y}=\mathit{u}\mathit{x}$ und aufgrund der Definition einer homogenen Funktion erhält man:

$$\mathit{A}(\mathit{x},\mathit{u}\mathit{x})={\mathit{x}}^{\mathit{p}}\mathit{A}(1,\mathit{u})\text{und}\mathit{B}(\mathit{x},\mathit{u}\mathit{x})={\mathit{x}}^{\mathit{q}}\mathit{B}(1,\mathit{u}).$$

Wenn die homogenen Funktionen $\mathit{A}$ und $\mathit{B}$ gleichen Grades $(\mathit{p}=\mathit{q})$ sind, geht die ursprüngliche Gleichung über in

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=\mathit{u}+\mathit{x}\frac{\text{d}\mathit{u}}{\text{d}\mathit{x}}=-\frac{\mathit{A}(1,\mathit{u})}{\mathit{B}(1,\mathit{u})}=\mathit{g}(\mathit{u})=\mathit{g}\left(\frac{\mathit{y}}{\mathit{x}}\right),$$

was zu der trennbaren Differenzialgleichung

$$\frac{\text{d}\mathit{u}}{\mathit{g}(\mathit{u})-\mathit{u}}=\frac{\text{d}\mathit{x}}{\mathit{x}}$$

führt. Man erhält die Lösung für $\mathit{u}$ (dann ist $\mathit{y}=\mathit{u}\mathit{x}$) unter der Voraussetzung, dass die Integration der linken Seite möglich ist.

Homogene gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung heißt homogen, wenn sie sich wie folgt schreiben lässt:

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=\mathit{g}\left(\frac{\mathit{y}}{\mathit{x}}\right).$$

• Beispiel