zum Directory-modus

Einführung in die gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung

Beispiel: Einfache Reaktion zweiter Ordnung

Wir betrachten eine Reaktion mit einem Geschwindigkeitsgesetz zweiter Ordnung:

A + B P + - d [ A ] d t = k [ A ] [ B ] .

Schreiben wir

[ A ] = [ A ] 0 - y = a - y [ B ] = [ B ] 0 - y = b - y d [ A ] d t = d [ B ] d t = - d y d t = - d [ P ] d t ,

so erhalten wir eine trennbare Differenzialgleichung erster Ordnung

d y d t = k ( a - y ) ( b - y ) mit y ( 0 ) = 0.

Fall a = b

Es ist

d y ( a - y ) 2 = k d t = k t + C ,

wobei die t -Integration die Konstante C einführt. Durch die Substitution u = a - y lässt sich die linke Seite integrieren. Es ist

- d ( a - y ) ( a - y ) 2 = - d u u 2 = 1 u = 1 ( a - y ) .

Die Konstante C bestimmen wir durch die Anfangsbedingung y ( 0 ) = 0 .

1 a - 0 = k 0 + C C = 1 a .

Dann erhalten wir

1 a - y - 1 a = k t y ( t ) = a a k t 1 + a k t ;

mit den Konzentrationen [ A ] und [ B ] ergibt sich

[ A ] = [ B ] = [ A ] 0 1 + [ A ] 0 k t t , [ A ] , [ B ] 0.
Abb.1
Konzentration y ( t ) : a = b = 1 , k = 1 mit eingezeichnetem Richtungsfeld der Differenzialgleichung

Fall a b

d y ( a - y ) ( b - y ) = k d t .

Eine Partialbruchzerlegung ergibt

1 ( a - y ) ( b - y ) = 1 ( b - a ) ( a - y ) - 1 ( b - a ) ( b - y ) .

Dann ist

1 ( b - a ) d y ( a - y ) - d y ( b - y ) = k d t ,

woraus folgt

1 ( b - a ) - ln ( a - y ) + ln ( b - y ) = k t + C .

Die Konstante C ist durch die Anfangsbedingung y ( 0 ) = 0 bestimmt

1 ( b - a ) ln b - y a - y = k t + C C = 1 ( b - a ) ln b a .
1 ( b - a ) ln a ( b - y ) b ( a - y ) = k t

oder mit den Konzentrationen [ A ] und [ B ] :

1 [ B ] 0 - [ A ] 0 ln [ A ] 0 [ A ] [ B ] 0 [ B ] = k t .
Abb.2
Konzentration y ( t ) : a = 2 , b = 1 , k = 1 mit eingezeichnetem Richtungsfeld der Differenzialgleichung
Abb.3
Konzentration y ( t ) : a = b = 1 (blau), a = 2 und  b = 1 (grün), k = 1
Seite 3 von 3>