Verfahren der trennbaren Variablen

Wir betrachten eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung der Form

$$\mathit{G}(\mathit{x},\mathit{y},\mathit{y}\text{'})=0.$$

Trennbare gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung heißt trennbar, wenn sie sich wie folgt schreiben lässt:

$$\mathit{A}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}=\mathit{B}(\mathit{y})\text{d}\mathit{y}.$$

In diesem Fall erhält man die allgemeine Lösung, indem man die linke Seite nach $\mathit{x}$ und die rechte nach $\mathit{y}$ integriert. Die willkürliche Konstante $\mathit{C}$ ist genau die Integrationskonstante:

$$\int \mathit{A}(\mathit{x})\text{d}\mathit{x}=\int \mathit{B}(\mathit{y})\text{d}\mathit{y}+\mathit{C}\text{.}$$

Beispiel

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=2\mathit{x}+1.$$

Trennung der Variablen ergibt

$$\text{d}\mathit{y}=(2\mathit{x}+1)\text{d}\mathit{x}.$$

Durch Integration der beiden Seiten folgt die allgemeine Lösung

$$\mathit{y}={\mathit{x}}^2+\mathit{x}+\mathit{C}.$$

Abb.1

Partikuläre Lösung für $\mathit{y}(0)=1$ mit eingezeichnetem Richtungsfeld der Differenzialgleichung

Beispiel

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=-\mathit{k}\mathit{y}\text{mit der Anfangsbedingung}\mathit{y}({\mathit{x}}_0)={\mathit{y}}_0.$$

Trennung der Variablen ergibt

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\mathit{y}}=-\mathit{k}\text{d}\mathit{x}\Rightarrow ln\mathit{y}=-\mathit{k}\mathit{x}+\mathit{C}´\Rightarrow \mathit{y}=\mathit{C}{\text{e}}^{-\mathit{k}\mathit{x}}.$$

Durch die Anfangsbedingung ist die Konstante $\mathit{C}$ bestimmt:

$${\mathit{y}}_0=\mathit{C}{\text{e}}^{-\mathit{k}{\mathit{x}}_0}\Rightarrow \mathit{C}={\mathit{y}}_0{\text{e}}^{\mathit{k}{\mathit{x}}_0}.$$

Die partikuläre Lösung lautet also:

$$\mathit{y}={\text{e}}^{-\mathit{k}(\mathit{x}-{\mathit{x}}_0)}.$$

Diese Differenzialgleichung tritt u.a. in der Reaktionskinetik auf.

Abb.2

Partikuläre Lösung für $\mathit{y}(0)=1$ ($\mathit{k}=1$) mit eingezeichnetem Richtungsfeld der Differenzialgleichung

Es ist nicht leicht herauszufinden, ob eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung trennbar ist. In der Praxis muss man es durch Probieren und Erraten versuchen.

Beispiel

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=\frac{\mathit{x}+\mathit{y}}{\mathit{x}-\mathit{y}}\text{ist untrennbar}.$$

Abb.3

Richtungsfeld der Differenzialgleichung (nicht stetig für $\mathit{y}=\mathit{x}$)