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Einführung in die gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung

Verfahren der trennbaren Variablen

Wir betrachten eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung der Form

G ( x , y , y ' ) = 0.
Trennbare gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung
Eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung heißt trennbar, wenn sie sich wie folgt schreiben lässt:
A ( x ) d x = B ( y ) d y .

In diesem Fall erhält man die allgemeine Lösung, indem man die linke Seite nach x und die rechte nach y integriert. Die willkürliche Konstante C ist genau die Integrationskonstante:

A ( x ) d x = B ( y ) d y + C .
Beispiel
d y d x = 2 x + 1.

Trennung der Variablen ergibt

d y = ( 2 x + 1 ) d x .

Durch Integration der beiden Seiten folgt die allgemeine Lösung

y = x 2 + x + C .
Abb.1
Partikuläre Lösung für y ( 0 ) = 1 mit eingezeichnetem Richtungsfeld der Differenzialgleichung
Beispiel
d y d x = - k y mit der Anfangsbedingung y ( x 0 ) = y 0 .

Trennung der Variablen ergibt

d y y = - k d x ln y = - k x + C ´ y = C e - k x .

Durch die Anfangsbedingung ist die Konstante C bestimmt:

y 0 = C e - k x 0 C = y 0 e k x 0 .

Die partikuläre Lösung lautet also:

y = e - k ( x - x 0 ) .

Diese Differenzialgleichung tritt u.a. in der Reaktionskinetik auf.

Abb.2
Partikuläre Lösung für y ( 0 ) = 1 ( k = 1 ) mit eingezeichnetem Richtungsfeld der Differenzialgleichung

Es ist nicht leicht herauszufinden, ob eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung trennbar ist. In der Praxis muss man es durch Probieren und Erraten versuchen.

Beispiel
d y d x = x + y x - y ist untrennbar .
Abb.3
Richtungsfeld der Differenzialgleichung (nicht stetig für y = x )
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