Einführung in die gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung
Verfahren der trennbaren Variablen
Wir betrachten eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung der Form
- Trennbare gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung
- Eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung heißt trennbar, wenn sie sich wie folgt schreiben lässt:
In diesem Fall erhält man die allgemeine Lösung, indem man die linke Seite nach und die rechte nach integriert. Die willkürliche Konstante ist genau die Integrationskonstante:
- Beispiel
Trennung der Variablen ergibt
Durch Integration der beiden Seiten folgt die allgemeine Lösung
- Beispiel
Trennung der Variablen ergibt
Durch die Anfangsbedingung ist die Konstante bestimmt:
Die partikuläre Lösung lautet also:
Diese Differenzialgleichung tritt u.a. in der Reaktionskinetik auf.
Es ist nicht leicht herauszufinden, ob eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung trennbar ist. In der Praxis muss man es durch Probieren und Erraten versuchen.
- Beispiel