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Einführung in die gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung

Gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung: Einführung

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung in impliziter Form hat die Gestalt

G x , y , y ' = 0 ,

wobei y ( x ) die unbekannte Funktion, y ' ihre Ableitung und x die unabhängige Variable ist. Die Gleichung ist von erster Ordnung, da y ' die höchste auftretende Ordnung der Ableitungen von y ist.

Beispiel

Die Zahl Δ N der pro Zeiteinheit Δ t zerfallenden Teilchen eines instabilen Isotops kann experimentell genau bestimmt werden (Geiger-Müller-Zählrohr), der Quotient Δ N / Δ t ist der Anzahl N ( t ) der noch vorhandenen Atome proportional. Wir können dieses Zeitgesetz in der Form einer Differenzialgleichung ausdrücken

- Δ N Δ t N - d N d t = k N ,

wobei k die Zerfallskonstante ist. Da eine Ableitung erster Ordnung nach der Zeit auftritt, liegt eine Differenzialgleichung erster Ordnung vor. Schreibt man die Gleichung um und integriert man beide Seiten

d N N = - k d t d N N = - k d t ln N = - k t + C ' ,

so erhält man als Lösung

N ( t ) = C e - k t ,

wobei C eine willkürlich wählbare Konstante ist. Beim Differenzieren stellt man fest, dass die Lösung die Differenzialgleichung

- d N d t = k C e - k t = k N .

erfüllt. Setzt man t = 0 , so erhält man N ( 0 ) = C . Man interpretiert C als die Anfangsanzahl von Atomen:

N ( t ) = N ( 0 ) e - k t .
Abb.1
Partikuläre Lösungen N ( t ) = C e - t der Differenzialgleichung d N / d t = - N für C = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 (Zerfallskonstante k = 1 ).

Bemerkung: Eigentlich gilt d N N = ln | N | . Da Teilchenzahlen aber immer positiv sind, ist eine Fallunterscheidung in diesem Beispiel nicht notwendig.

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