Numerische Lösung von Differenzialgleichungen
Methode von Euler
Wir betrachten die numerische Lösung des Anfangswertproblems
Wir definieren äquidistante Stützstellen mit Schrittweite
Die Näherung für den exakten Lösungswert ist durch die Steigung des Richtungsfeldes der Differenzialgleichung an der vorherigen Stützstelle bestimmt
Aufgrund der geometrischen Konstruktion der Näherung nennt man das Verfahren auch Polygonzugmethode. Um die Methode von Euler herzuleiten, betrachten wir die Taylorreihe von entwickelt um
Lassen wir das Restglied weg, so erhalten wir die Methode von Euler. Das Glied
ist der Diskretisierungsfehler an der Stelle .
- Abb.1
- Methode von Euler
Numerische Lösung des Anfangswertproblems , : (grün); (rot); analytische Lösungskurve (blau)
Diese Methode ist nicht sehr zuverlässig und ergibt nur bei sehr kleinen Schrittweiten gute Näherungswerte. Der Fehler der Näherung ist zur Schrittweite proportional.