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Numerische Lösung von Differenzialgleichungen

Methode von Euler

Wir betrachten die numerische Lösung des Anfangswertproblems

d y d x = g ( x , y ) mit y ( x 0 ) = y 0 .

Wir definieren äquidistante Stützstellen mit Schrittweite h

x k = x 0 + k h , ( k = 1 , 2 , ) .

Die Näherung Y k +1 für den exakten Lösungswert y ( x k +1 ) ist durch die Steigung des Richtungsfeldes der Differenzialgleichung an der vorherigen Stützstelle k bestimmt

Y k +1 = Y k + h g ( x k , Y k ) , ( k = 1 , 2 , ) mit Y 0 = y 0 .

Aufgrund der geometrischen Konstruktion der Näherung nennt man das Verfahren auch Polygonzugmethode. Um die Methode von Euler herzuleiten, betrachten wir die Taylorreihe von y ( x k +1 ) entwickelt um x k

y ( x k +1 ) = y ( x k ) + h y ' ( x k ) + h 2 2 y ' ' ( ξ k ) x k ξ k x k +1 .

Lassen wir das Restglied weg, so erhalten wir die Methode von Euler. Das Glied

T k = h 2 2 y ' ' ( ξ k )

ist der Diskretisierungsfehler an der Stelle x k +1 .

Abb.1
Methode von Euler

Numerische Lösung des Anfangswertproblems y ' = y , y ( 0 ) = 0 : h = 0,2 (grün); h = 0,05 (rot); analytische Lösungskurve y = e x (blau)

Diese Methode ist nicht sehr zuverlässig und ergibt nur bei sehr kleinen Schrittweiten h gute Näherungswerte. Der Fehler der Näherung ist zur Schrittweite h proportional.

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