Methode von Euler

Wir betrachten die numerische Lösung des Anfangswertproblems

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})\text{mit}\mathit{y}({\mathit{x}}_0)={\mathit{y}}_0.$$

Wir definieren äquidistante Stützstellen mit Schrittweite $\mathit{h}$

$${\mathit{x}}_{\mathit{k}}={\mathit{x}}_0+\mathit{k}\cdot \mathit{h},(\mathit{k}=1,2,\dots ).$$

Die Näherung ${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}$ für den exakten Lösungswert $\mathit{y}({\mathit{x}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}})$ ist durch die Steigung des Richtungsfeldes der Differenzialgleichung an der vorherigen Stützstelle $\mathit{k}$ bestimmt

$${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}={\mathit{Y}}_{\mathit{k}}+\mathit{h}\cdot \mathit{g}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{Y}}_{\mathit{k}}),(\mathit{k}=1,2,\dots )\text{mit}{\mathit{Y}}_0={\mathit{y}}_0.$$

Aufgrund der geometrischen Konstruktion der Näherung nennt man das Verfahren auch Polygonzugmethode. Um die Methode von Euler herzuleiten, betrachten wir die Taylorreihe von $\mathit{y}({\mathit{x}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}})$ entwickelt um ${\mathit{x}}_{\mathit{k}}$

$$\mathit{y}({\mathit{x}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}})=\mathit{y}({\mathit{x}}_{\mathit{k}})+\mathit{h}\cdot \mathit{y}\text{'}({\mathit{x}}_{\mathit{k}})+\frac{{\mathit{h}}^2}{2}\mathit{y}\text{'}\text{'}({\xi }_{\mathit{k}}){\mathit{x}}_{\mathit{k}}\le {\xi }_{\mathit{k}}\le {\mathit{x}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}.$$

Lassen wir das Restglied weg, so erhalten wir die Methode von Euler. Das Glied

$${\mathit{T}}_{\mathit{k}}=\frac{{\mathit{h}}^2}{2}\mathit{y}\text{'}\text{'}({\xi }_{\mathit{k}})$$

ist der Diskretisierungsfehler an der Stelle ${\mathit{x}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}$.

Diese Methode ist nicht sehr zuverlässig und ergibt nur bei sehr kleinen Schrittweiten $\mathit{h}$ gute Näherungswerte. Der Fehler der Näherung ist zur Schrittweite $\mathit{h}$ proportional.