Numerische Lösung von Differenzialgleichungen

Viele Problemstellungen in der Chemie und Physik führen auf Differenzialgleichungen, die man nicht in geschlossener Form analytisch lösen kann. Da man oftmals von der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung weiß, ist es lohnenswert, eine Lösung numerisch zu ermitteln. Da sich gewöhnliche Differenzialgleichungen höherer Ordnungin Systeme von Differenzialgleichungen erster Ordnung umwandeln lassen, sind Methoden zur numerischen Lösung von Gleichungen erster Ordnung besonders bedeutsam. Wir betrachten daher das Anfangswertproblem

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})\text{mit}\mathit{y}({\mathit{x}}_0)={\mathit{y}}_0.$$

Das meist beliebteste numerische Verfahren zur Lösung des Anfangswertproblems ist das Differenzverfahren. Die Lösung wird näherungsweise äquidistanten an Stützstellen mit Schrittweite $\mathit{h}$

$${\mathit{x}}_0<{\mathit{x}}_1<{\mathit{x}}_2<\dots <{\mathit{x}}_{\mathit{k}}<\dots$$

erhalten, und der numerische Lösungswert ${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}$ an der Stelle ${\mathit{x}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}$ ist bestimmt durch die Näherungswerte von vorherigen Schritten. Im Allgemeinen ist

$${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}=\sum _{\mathit{j}=0}^{\mathit{p}}{\mathit{a}}_{\mathit{j}}{\mathit{Y}}_{\mathit{k}-\mathit{j}}+\mathit{h}\sum _{\mathit{j}=-1}^{\mathit{p}}{\mathit{b}}_{\mathit{j}}\mathit{g}({\mathit{x}}_{\mathit{k}-\mathit{j}},{\mathit{Y}}_{\mathit{k}-\mathit{j}})\mathit{k}\ge \mathit{p}\ge 0.$$

Die Koeffizienten ${\mathit{a}}_0,\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{p}},{\mathit{b}}_{-1},{\mathit{b}}_0,\dots ,{\mathit{b}}_{\mathit{p}}$ sind konstant. Wenn entweder ${\mathit{a}}_{\mathit{p}}\ne 0$ oder ${\mathit{b}}_{\mathit{p}}\ne 0$ ist, bezeichnet man das Verfahren als $\mathit{p}+1$-Schrittmethode, da man $\mathit{p}+1$ vorherige Lösungswerte benutzt, um ${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}$ zu ermitteln. Wenn ${\mathit{b}}_{-1}\ne 0$ ist, dann steht ${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}$ auf beiden Seiten der Formel und man nennt sie eine implizite Methode, in anderen Fällen eine explizite Methode.

Den Fehler der Näherung an der Stelle ${\mathit{x}}_{\mathit{k}}$ definiert man als

$${\mathit{e}}_{\mathit{k}}=\mathit{y}({\mathit{x}}_{\mathit{k}})-{\mathit{Y}}_{\mathit{k}},$$

das heißt als Unterschied zwischen der exakten Lösung (falls vorhanden) und der numerischen Lösung; er ist unter anderem eine Funktion der Schrittweite $\mathit{h}$.

Das einfachste numerische Verfahren ist die Methode von Euler. Sie ist eine explizite 1-Schrittmethode mit $\mathit{p}=0$ und ${\mathit{a}}_0=1$, ${\mathit{b}}_0=1$, ${\mathit{b}}_{-1}=0$.

Methode von Euler

$${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}={\mathit{Y}}_{\mathit{k}}+\mathit{h}\mathit{g}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{Y}}_{\mathit{k}}),(\mathit{k}=0,1,2,\dots )\text{mit}{\mathit{Y}}_0={\mathit{y}}_0$$

Die Trapezmethode ist eine implizite 1-Schrittmethode, da in jedem Schritt eine Gleichung zur Bestimmung von ${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}$ zu lösen ist.

Trapezmethode

$${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}={\mathit{Y}}_{\mathit{k}}+\frac{\mathit{h}}{2}\left[\mathit{g}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{Y}}_{\mathit{k}})+\mathit{g}({\mathit{x}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}},{\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}})\right],(\mathit{k}=0,1,2,\dots )\text{mit}{\mathit{Y}}_0={\mathit{y}}_0$$

Die bekanntesten 1-Schrittmethoden sind die Runge-Kutta-Verfahren, bei denen eine repräsentative Steigung der Funktion im Intervall ermittelt wird.

Runge-Kutta-Methoden

$${\mathit{Y}}_{\mathit{k}\mathrm{+1}}={\mathit{Y}}_{\mathit{k}}+\mathit{h}\mathit{F}({\mathit{x}}_{\mathit{k}},{\mathit{Y}}_{\mathit{k}},\mathit{h};\mathit{g}),(\mathit{k}=0,1,2,\dots )\text{mit}{\mathit{Y}}_0={\mathit{y}}_0$$

Die Form der Funktion $\mathit{F}$ wird dabei durch die Taylor-Entwicklung von $\mathit{g}$ bestimmt.