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Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Beispiel: Picard-Lindelöf´sches Iterationsverfahren

Wir betrachten das Anfangswertproblem

d y d x = y mit y ( 0 ) = 1.

Die entsprechende Integralgleichung ist

φ ( x ) = 1 + 0 x φ ( x ' ) d x ' .

Wir bestimmen die Lösung mittels des Iterationsverfahrens

φ n +1 ( x ) = 1 + 0 x φ n ( x ' ) d x ' mit der Anfangsfunktion φ 0 ( x ) = 1.

Die erste Annäherung ist

φ 1 ( x ) = 1 + 0 x d x ' = 1 + x .

Die zweite Annäherung ist

φ 2 ( x ) = 1 + 0 x ( 1 + x ' ) d x ' = 1 + x + 1 2 x 2 .

Man kann zeigen, dass die n -te Annäherung durch

φ n ( x ) = k = 0 n x k k !

gegeben ist. Diese Sequenz von Funktionen konvergiert gegen die eindeutige Lösung des betrachteten Anfangswertproblems

y ( x ) = lim n φ n ( x ) = e x .
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