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Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Picard-Lindelöf´sches Iterationsverfahren

Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf ergibt sich mit dem Picard-Lindelöf´schen Iterationsverfahren, mit dem man die Lösung explizit bestimmt. Man kann leicht erkennen, dass eine Funktion φ ( x ) eine Lösung des Anfangswertproblems

d φ d x = g ( x , φ ( x ) ) mit φ ( x 0 ) = y 0 ,

nur dann ist, wenn sie der Integralgleichung

φ ( x ) = y 0 + x 0 x g ( x ' , φ ( x ' ) ) d x '

genügt. Wenn man eine beliebige stetige Funktion φ 0 ( x ) annimmt, die z.B. der Anfangsbedingung φ 0 ( x ) = x 0 genügt, bestimmt diese Integralgleichung durch Verwendung als Iterationsformel eine neue verbesserte Annäherung φ 1 ( x ) der Lösung, das heißt

φ 1 ( x ) = y 0 + x 0 x g ( x ' , φ 0 ( x ' ) ) d x ' .

Man wiederholt diesen Schritt mit der Funktion φ 1 ( x ) , um eine neue Funktion φ 2 ( x ) zu erhalten, usw. Man kann dann zeigen, dass die Sequenz der auf diese Weise erhaltenen Funktionen { φ 0 ( x ) , φ 1 ( x ) , φ 2 ( x ) , } gegen die Lösung des Anfangswertproblems konvergiert.

In den meisten Fällen ist das Picard-Lindelöf´sche Iterationsverfahren beschwerlich und liefert die Lösung nicht in geschlossener Form. Bessere numerische Methoden existieren, um sich der Lösung anzunähern.

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