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Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Differenzialgleichung in impliziter Form

In dem Fall, dass sich die Differenzialgleichung nicht eindeutig nach y ' auflösen lässt, die Gleichung also in impliziter Form vorliegt

G ( x , y , y ' ) = 0 ,

kommt man mit Hilfe des Satzes über die Auflösbarkeit impliziter Gleichungen zu einer Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen. Wenn G ( x , y , y ' ) stetig ist und eine stetige Ableitung nach y ' besitzt und für ein Linienelement ( x 0 , y 0 , y 0 ' ) , das die implizite Differenzialgleichung erfüllt, folgende Bedingung gilt

G y ' ( x 0 , y 0 , y 0 ' ) 0 ,

dann existiert in der Umgebung von ( x 0 , y 0 ) eine Funktion y ' = g ( x , y ) , die die implizite Differenzialgleichung erfüllt, und man nennt das Linienelement regulär. Dann besitzt die implizite Differenzialgleichung nach dem Satz von Picard-Lindelöf eine eindeutige Lösung.

Gilt dagegen für das Linienelement

G y ' ( x 0 , y 0 , y 0 ' ) = 0 ,

so ist die Existenz einer Funktion y ' = g ( x , y ) in der Umgebung von ( x 0 , y 0 ) nicht mehr gesichert, und man nennt das Linienelement singulär.

Theorem
Bei einer impliziten Differenzialgleichung erster Ordnung
G ( x , y , y ' ) = 0 ,
bei der G eine stetige Funktion mit stetiger Ableitung nach y ' ist, gehört zu einem regulären Linienelement ( x 0 , y 0 , y 0 ') genau eine Lösung; zu einem singulären Linienelement können dagegen auch mehrere Lösungen gehören.
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