Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen: Satz von Picard-Lindelöf
Wir betrachten das Anfangswertproblem
Sei stetig und beschränkt in einem Bereich und , dann ist eine Funktion eine Lösung im Intervall für alle , wenn
- existiert und
Um die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung zu sichern, muss man Anforderungen an die Funktion stellen. Eine Anforderung ist die bereits genannte Stetigkeit von in . Die andere Anforderung ist die so genannte Lipschitz-Bedingung:
- Lipschitz-Bedingung
- Die Lipschitz-Bedingung wird erfüllt, wenn in stetig ist. Setzt man
- dann folgt aus dem Mittelwertsatz für Funktionen zweier Veränderlicher
- und so ergibt sich die Lipschitz-Bedingung.
Eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung ist mit folgendem Satz festgelegt:
- Theorem
- Ist stetig in und genügt der Lipschitz-Bedingung, dann existiert ein Intervall , in dem eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems mit existiert.
Der Beweis des Picard´schen Satzes ergibt sich mit dem Picard-Lindelöf´schen Iterationsverfahren, mit dem man die Lösung explizit bestimmen kann.
- Beispiel
Das Anfangswertproblem
hat keine eindeutige Lösung, sondern zwei verschiedene Lösungen
da unstetig an der Stelle ist.
Der Picard´sche Satz behauptet lediglich die Existenz einer Lösung in der Umgebung des Punktes . Er behauptet nicht unbedingt, dass die Lösung im ganzen Bereich gültig ist.
- Beispiel
Das Anfangswertproblem
hat die Lösung
die unstetig an den Stellen ist, obwohl und stetig in der ganzen -Ebene sind.