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Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen: Satz von Picard-Lindelöf

Wir betrachten das Anfangswertproblem

d y d x = g ( x , y ) mit y ( x 0 ) = y 0 .

Sei g ( x , y ) stetig und beschränkt in einem Bereich D und ( x 0 , y 0 ) D , dann ist eine Funktion y = φ ( x ) eine Lösung im Intervall [ a , b ] für alle a x b , wenn

  1. ( x , φ ( x ) ) D
  2. φ ( x 0 ) = y 0
  3. φ ' ( x ) existiert und φ ' ( x ) = g ( x , φ ( x ) )

Um die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung y = φ ( x ) zu sichern, muss man Anforderungen an die Funktion g ( x , y ) stellen. Eine Anforderung ist die bereits genannte Stetigkeit von g ( x , y ) in D . Die andere Anforderung ist die so genannte Lipschitz-Bedingung:

Lipschitz-Bedingung
g ( x , y 1 ) - g ( x , y 2 ) K y 1 - y 2 für alle ( x , y 1 ) , ( x , y 2 ) in D , für eine Zahl K > 0
Die Lipschitz-Bedingung wird erfüllt, wenn g / y in D stetig ist. Setzt man
K = max ( ( x , y ) D ) g ( x , y ) y ,
dann folgt aus dem Mittelwertsatz für Funktionen zweier Veränderlicher
g ( x , y 1 ) - g ( x , y 2 ) = g ( x , ξ ) y ( y 1 - y 2 ) , y 1 ξ y 2 ,
und so ergibt sich die Lipschitz-Bedingung.

Eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung ist mit folgendem Satz festgelegt:

Theorem
Ist g ( x , y ) stetig in D und genügt g ( x , y ) der Lipschitz-Bedingung, dann existiert ein Intervall [ x 0 - h , x 0 + h ] , in dem eine eindeutige Lösung y = φ ( x ) des Anfangswertproblems y ' = g ( x , y ) mit y ( x 0 ) = y 0 existiert.

Der Beweis des Picard´schen Satzes ergibt sich mit dem Picard-Lindelöf´schen Iterationsverfahren, mit dem man die Lösung explizit bestimmen kann.

Beispiel

Das Anfangswertproblem

d y d x = y 1 / 3 mit y ( 0 ) = 0

hat keine eindeutige Lösung, sondern zwei verschiedene Lösungen

y ( x ) = 0 und y ( x ) = ( 2 x / 3 ) 3 / 2 ,

da g / y = y -2 / 3 / 3 unstetig an der Stelle x = 0 ist.

Abb.1
Zwei Lösungen des Anfangswertproblems y ' = y 1 / 3 mit y ( 0 ) = 0

Der Picard´sche Satz behauptet lediglich die Existenz einer Lösung in der Umgebung des Punktes x 0 . Er behauptet nicht unbedingt, dass die Lösung im ganzen Bereich D gültig ist.

Beispiel

Das Anfangswertproblem

d y d x = y 2 + 1 mit y ( 0 ) = 0

hat die Lösung

y ( x ) = tan x ,

die unstetig an den Stellen x = ± π / 2 ist, obwohl g ( x , y ) = y 2 + 1 und g / y = 2 y stetig in der ganzen x y -Ebene sind.

Abb.2
Lösung unstetig an den Stellen x = ± π
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