Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen: Satz von Picard-Lindelöf

Wir betrachten das Anfangswertproblem

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}=\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})\text{mit}\mathit{y}({\mathit{x}}_0)={\mathit{y}}_0.$$

Sei $\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})$ stetig und beschränkt in einem Bereich $\mathit{D}$ und $({\mathit{x}}_0,{\mathit{y}}_0)\in \mathit{D}$, dann ist eine Funktion $\mathit{y}=\phi (\mathit{x})$ eine Lösung im Intervall $[\mathit{a},\mathit{b}]$ für alle $\mathit{a}\le \mathit{x}\le \mathit{b}$, wenn

1. $(\mathit{x},\phi (\mathit{x}))\in \mathit{D}$
2. $\phi ({\mathit{x}}_0)={\mathit{y}}_0$
3. $\phi \text{'}(\mathit{x})$ existiert und $\phi \text{'}(\mathit{x})=\mathit{g}(\mathit{x},\phi (\mathit{x}))$

Um die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung $\mathit{y}=\phi (\mathit{x})$ zu sichern, muss man Anforderungen an die Funktion $\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})$ stellen. Eine Anforderung ist die bereits genannte Stetigkeit von $\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})$ in $\mathit{D}$. Die andere Anforderung ist die so genannte Lipschitz-Bedingung:

Lipschitz-Bedingung

$$\left|\mathit{g}(\mathit{x},{\mathit{y}}_1)-\mathit{g}(\mathit{x},{\mathit{y}}_2)\right|\le \mathit{K}\left|{\mathit{y}}_1-{\mathit{y}}_2\right|\text{für alle}(\mathit{x},{\mathit{y}}_1),(\mathit{x},{\mathit{y}}_2)\text{in}\mathit{D},\text{für eine Zahl}\mathit{K}>0$$

Die Lipschitz-Bedingung wird erfüllt, wenn $\partial \mathit{g}/\partial \mathit{y}$ in $\mathit{D}$ stetig ist. Setzt man

$$\mathit{K}=max((\mathit{x},\mathit{y})\in \mathit{D})\left|\frac{\partial \mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})}{\partial \mathit{y}}\right|,$$

dann folgt aus dem Mittelwertsatz für Funktionen zweier Veränderlicher

$$\mathit{g}(\mathit{x},{\mathit{y}}_1)-\mathit{g}(\mathit{x},{\mathit{y}}_2)=\frac{\partial \mathit{g}(\mathit{x},\xi )}{\partial \mathit{y}}({\mathit{y}}_1-{\mathit{y}}_2),{\mathit{y}}_1\le \xi \le {\mathit{y}}_2,$$

und so ergibt sich die Lipschitz-Bedingung.

Eine Aussage über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung ist mit folgendem Satz festgelegt:

Theorem

Ist $\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})$ stetig in $\mathit{D}$ und genügt $\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})$ der Lipschitz-Bedingung, dann existiert ein Intervall $[{\mathit{x}}_0-\mathit{h},{\mathit{x}}_0+\mathit{h}]$, in dem eine eindeutige Lösung $\mathit{y}=\phi (\mathit{x})$ des Anfangswertproblems $\mathit{y}\text{'}=\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})$ mit $\mathit{y}({\mathit{x}}_0)={\mathit{y}}_0$ existiert.

Der Beweis des Picard´schen Satzes ergibt sich mit dem Picard-Lindelöf´schen Iterationsverfahren, mit dem man die Lösung explizit bestimmen kann.

Beispiel

Das Anfangswertproblem

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}={\mathit{y}}^{1/3}\text{mit}\mathit{y}(0)=0$$

hat keine eindeutige Lösung, sondern zwei verschiedene Lösungen

$$\mathit{y}(\mathit{x})=0\text{und}\mathit{y}(\mathit{x})=(2\mathit{x}/3{)}^{3/2},$$

da $\partial \mathit{g}/\partial \mathit{y}={\mathit{y}}^{-2/3}/3$ unstetig an der Stelle $\mathit{x}=0$ ist.

Abb.1

Zwei Lösungen des Anfangswertproblems $\mathit{y}\text{'}={\mathit{y}}^{1/3}$ mit $\mathit{y}(0)=0$

Der Picard´sche Satz behauptet lediglich die Existenz einer Lösung in der Umgebung des Punktes ${\mathit{x}}_0$. Er behauptet nicht unbedingt, dass die Lösung im ganzen Bereich $\mathit{D}$ gültig ist.

Beispiel

Das Anfangswertproblem

$$\frac{\text{d}\mathit{y}}{\text{d}\mathit{x}}={\mathit{y}}^2+1\text{mit}\mathit{y}(0)=0$$

hat die Lösung

$$\mathit{y}(\mathit{x})=tan\mathit{x},$$

die unstetig an den Stellen $\mathit{x}=\pm \pi /2$ ist, obwohl $\mathit{g}(\mathit{x},\mathit{y})={\mathit{y}}^2+1$ und $\partial \mathit{g}/\partial \mathit{y}=2\mathit{y}$ stetig in der ganzen $\mathit{x}\mathit{y}$ -Ebene sind.

Abb.2

Lösung unstetig an den Stellen $\mathit{x}=\pm \pi$