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Lösungsmethoden von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Geometrische Lösung

Wir betrachten eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung, die sich in der Form

d y d x = g ( x , y )

darstellen lässt. Diese Gleichung hat eine geometrische Deutung. Sei g ( x , y ) in einem Bereich R der x y -Ebene definiert. Für einen beliebigen Punkt ( x 0 , y 0 ) in D hat eine partikuläre Lösung y ( x ) der Differenzialgleichung die Steigung y ' ( x 0 ) = g ( x 0 , y 0 ) . Da sich jedem Punkt in R die Steigung zuordnen lässt, erhält man ein Richtungsfeld. Man kann dies graphisch darstellen, indem man die Steigung an einem Punkt durch eine kurze Gerade oder ein Linienelement in der x y -Ebene einzeichnet. Eine Kurve, die alle Punkte mit gleicher Richtung der Linienelemente (konstante Steigung k ) verbindet, bezeichnet man als Isokline, d.h.

g ( x , y ) = k .
Abb.1
Richtungsfeld der Differenzialgleichung y ' = x - y mit eingezeichneten Isoklinen für k = -3 (oben) und k = 2 (unten)

Die Gesamtheit aller Isoklinen mit den eingezeichneten Linienelementen stellt graphisch die Lösungen der Differenzialgleichung dar. Eine partikuläre Lösung oder Integralkurve ist eine Kurve, die in jedem Punkt mit einem Linienelement zusammenfällt. Je feiner die Linienelemente gezeichnet sind, um so genauer lässt sich die Lösungskurve bestimmen.

Die Vielzahl von Integralkurven, die man durch Variation der willkürlichen Integrationskonstante C erhält, bezeichnet man als eine Kurvenschar; sie ist im Allgemeinen durch eine implizite Gleichung gegeben

F ( x , y , C ) = 0.
Beispiel

Die Kurvenschar

F ( x , y , C ) = x 2 + y 2 - C 2 = 0

besteht aus Kreisen mit dem Radius C , die Lösungen einer Differenzialgleichung darstellen. Differenzieren wir nach x , um den freien Parameter C zu eliminieren, so erhalten wir die Differenzialgleichung

2 x + 2 y y ' = 0 y ' = - x y .

Die Isoklinen sind Geraden, die durch den Koordinatenursprung verlaufen

y ' = k k y + x = 0.
Abb.2
Richtungsfeld der Differenzialgleichung y ' = - x / y mit eingezeichneter Lösungskurve für C = 3.5 (blau) und Isokline für k = 2 (schwarz)

Diese Methode ist meistens dafür nützlich, die qualitative Form der Lösung in der Umgebung eines Punktes zu ermitteln. Um eine Lösung mit einer hohen Genauigkeit bestimmen zu können, werden numerische Verfahren benötigt.

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