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Lösungsmethoden von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Analytische Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

G ( x , y , y ' , y ' ' ) = 0

Verschiedene Methoden zur Lösung bestimmter Differenzialgleichungen zweiter Ordnung sind hier zusammengefasst:

Tab.1
Lösungsmethoden
DarstellungLösungsmethode
linear, homogen, konstante Koeffizienten y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0 Charakteristische Gleichung: r 2 + r a 1 + a 0 = 0 . Nullstellen r 1 , r 2 : r 1 r 2 reell y ( x ) = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x , r 1 = r 2 reell y ( x ) = e r 1 x ( c 1 + x c 2 ) , r 1 = p + i q , r 2 = p - i q komplex y ( x ) = e p x ( c 1 cos q x + c 2 sin q x )
linear, homogen, nicht-konstante Koeffizienten y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = 0 Potenzreihen-Ansatz: y ( x ) = k = 0 a k x - x 0 k + s
linear, inhomogen y ' ' + p 1 y ' + p 0 y = q ( x ) Allgemeine Lösung: y ( x ) = y 0 ( x ) + y p ( x ) , wobei y 0 ( x ) der zugehörigen homogenen Gleichung genügt y ' ' + p 1 y ' + p 0 y = 0 und y p ( x ) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist.
linear, inhomogen, konstante Koeffizienten y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = q ( x ) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Man bestimmt die partikuläre Lösung y p ( x ) durch Erraten, wobei die Form von q ( x ) behilflich ist.
linear, inhomogen, nicht konstante Koeffizienten y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = q ( x ) Methode der Variation der Konstanten: y p ( x ) = u ( x ) y 1 ( x ) + v ( x ) y 2 ( x ) , wobei u ( x ) = - y 2 ( x ) q ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x und v ( x ) = y 1 ( x ) q ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x
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