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Lösungsmethoden von gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Lösungsmethoden

Es gibt keine allgemein gültige Methode zur Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung. Bei bestimmten Gleichungstypen sind analytische Lösungsverfahren vorhanden:

Bei den anderen muss man durch Probieren und Erraten eine Lösung bestimmen. Bei manchen Gleichungstypen kann man die Form der Lösungen geometrisch ableiten, ohne die Gleichung explizit zu lösen. Viele Gleichungen, denen man in der Praxis begegnet, haben keine exakte Lösung in geschlossener Form und müssen numerisch oder annäherungsweise gelöst werden.

Bevor man versucht, eine Differenzialgleichung zu lösen, sollte man festlegen, ob eine Lösung tatsächlich existiert und die Lösung eindeutig ist.

Beispiel

Betrachten wir das Anfangswertproblem

x d y d x + y = 0 mit y ( 0 ) = 1.

Es lässt sich leicht feststellen, das die allgemeine Lösung

y ( x ) = C x

der Anfangsbedingung y ( 0 ) = 1 nie genügt, da die Lösungskurven gegen unendlich gehen, wenn x 0 .

Abb.1
Keine Lösung des Anfangswertproblems y ' = - y / x mit y ( 0 ) = 1

Wenn einmal die Existenz einer Lösung festgelegt ist, dann stellt sich die Frage, ob diese Lösung eindeutig ist. Man erwartet eine eindeutige Lösung zu einem physikalischen Problem, aber das mathematische Modell des Problems ist eine Annäherung, und es ist nicht immer vorauszusetzen, dass die daraus entstehende Differenzialgleichung eine eindeutige Lösung besitzt.

Beispiel

Das Anfangswertproblem

d y d x = y 1 / 2 mit y ( 0 ) = 0

hat zwei verschiedene Lösungen

y ( x ) = 0 und y ( x ) = x 2 / 4.

Der Grund hierfür ist, dass die Funktion y 1 / 2 und ihre Ableitung an der Stelle y = 0 nicht stetig sind (Satz von Picard-Lindelöf).

Abb.2
Zwei Lösungen des Anfangswertproblems y ' = y 1 / 2 mit y ( 0 ) = 0

Allgemeine Aussagen über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen trifft der Satz von Picard-Lindelöf.

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