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Einführung in die gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Allgemeine Begriffe

Eine gewöhnliche Differenzialgleichung (DG) ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion einer Veränderlichen y = f ( x ) und ihre Ableitungen aufweist. Wenn die unbekannte Funktion eine Funktion mehrerer Veränderlicher ist z.B. z = f ( x , y ) , weist die Gleichung partielle Ableitungen von z auf und es liegt in diesem Fall eine partielle Differenzialgleichung vor.

Ordnung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung
Eine gewöhnliche DG für eine Funktion y = f ( x ) ist von n -ter Ordnung, wenn sie höchstens die n -te Ableitung von y enthält.
explizite Form y ( n ) = g ( x , y , y ' , y ' ' , , y ( n -1 ) ) implizite Form G ( x , y , y ' , y ' ' , , y ( n ) ) = 0
Grad einer gewöhnlichen Differenzialgleichung
Der Grad einer gewöhnlichen Differenzialgleichung ist die höchste Potenz, in der die höchste Ableitung vorkommt, nachdem man die Gleichung rational gemacht hat.
y ' ' ' + y ' + x y 2 = 0 3. Ordnung, 1. Grad x 2 y ' ' + ( y ' ) 1 / 2 + y = 0 2. Ordnung, 1. Grad
Linearität einer gewöhnlichen Differenzialgleichung
Eine gewöhnliche DG für eine Funktion y = f ( x ) ist linear, wenn y und ihre Ableitungen nur in der ersten Potenz vorkommen und wenn keine Produkte dieser Größen auftreten. Sonst ist die DG nichtlinear.
y ' - y = 0 1. Ordnung, linear x 2 y ' ' - 5 y = 0 2. Ordnung, linear y 2 + y ' = 0 1. Ordnung, nichtlinear
Homogenität einer gewöhnlichen Differenzialgleichung
Eine gewöhnliche Differenzialgleichung G ( x , y , y ' , y ' ' , , y ( n ) ) heißt homogen, wenn G eine homogene Funktion bezüglich y und aller Ableitungen ist
p n ( x ) y ( n ) + + p 2 ( x ) y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = 0 homogen p n ( x ) y ( n ) + + p 2 ( x ) y ' ' + p 1 ( x ) y ' + p 0 ( x ) y = q ( x ) nicht homogen
Es gibt noch eine andere Verwendung des Begriffes homogen. Man bezeichnet eine gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung homogen, wenn
d y d x = g y x .
Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung
Eine Lösung oder Integral einer gewöhnlichen DG ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen DG enthält eine oder mehrere beliebige Konstanten. Eine partikuläre Lösung enthält spezielle Werte dieser Konstante, die von zusätzlichen Bedingungen bestimmt sind.
Sei z.B. die lineare Differenzialgleichung erster Ordnung gegeben
y ' - y = 0 .
Dann sind
y = c e x , c die allgemeine Lösung und y = 2 e x und y = -3 e x partikuläre Lösungen .

Differenzialgleichungen finden Anwendung beim mathematischen Modellieren von physikalischen Sachverhalten, und in diesem Fall entstehen die zusätzlichen Bedingungen aus der Spezifikation der Modelle.

Wenn man eine Anforderung an die Lösung zu einem bestimmten Wert der unabhängigen Variablen fixiert, spricht man von Anfangsbedingungen. Z. B. bestimmt man den Weg s 0 und die Geschwindigkeit v 0 eines Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt t 0 .

Wenn man die Anforderungen an verschiedenen Stellen fixiert, spricht man von Randbedingungen. Z. B. sind die Auslenkungen einer schwingenden Saite u ( x ) an den Stellen x = 0 und x = l , an denen sie festgehalten wird, zu allen Zeiten gleich Null.

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