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Einführung in die gewöhnlichen Differenzialgleichungen

Einleitung

Die mathematische Formulierung vieler Probleme in der Chemie und Physik führt auf Gleichungen, die Ableitungen einer Funktion z.B. f ( t ) , die den gesuchten physikalischen Zusammenhang darstellt, enthalten:

g f , d f d t , , t = 0.

Diese so genannten Differenzialgleichungen entstehen, da wir meistens physikalische Systeme in Bewegung beobachten. Wir beobachten und messen Änderungsraten oder Ableitungen. Wir vermuten die Abhängigkeiten von den gemessenen Größen und wir formulieren sie mathematisch, woraus sich Differenzialgleichungen ergeben.

Durch ein Beispiel wird hier der Begriff erläutert.

Ein Konzentrationsproblem

In einem Becken von 500 L Wasser sind 20 kg Salz gelöst. Es fließt mit 10 Lmin-1 eine Salzlösung einer Konzentration von 2 kg L-1 zu. Der Abfluß beträgt ebenfalls 10 Lmin-1 . Man stelle die Salzmenge im Becken S ( t ) in Abhängigkeit von der Zeit dar.

Die Änderungsrate der Salzmenge im Becken ist gegeben durch folgende Differenzialgleichung

d S ( t ) d t = 2 kg L-1 10 Lmin-1 - 10 Lmin-1 500 L S ( t ) 50 d S d t = 1000 - S , Anfangsmenge S ( 0 ) = 20 .

Integrieren wir diese Gleichung, ergibt sich

d S 1000 - S = d t 50 - ln ( 1000 - S ) = t 50 + C .

Die Integrationskonstante C wird durch die Anfangsbedingung S ( 0 ) = 20 bestimmt

- ln ( 1000 - 20 ) = C .

Folglich ist die Lösung der Differenzialgleichung:

S ( t ) = 1000 - 980  exp - t 50 .

Mit t erreicht die Salzmenge im Becken einen Grenzwert von 1000 kg .

Abb.1
Salzmenge S ( t )
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