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Schnelle Fouriertransformation

Diskrete Fouriertransformation (FFT)

Die diskrete Fouriertransformation

F ( ω n ) = 1 N m = 0 N -1 f ( t m ) e i ω n t m , n = 0 , 1 , , N -1

lässt sich in Matrixform schreiben, indem die N diskreten Werte der Zeit- bzw. Frequenzfunktion als Komponenten eines Vektors interpretiert werden. So entsteht die Matrix/Vektor-Notierung

F ( ω 0 ) F ( ω 1 ) F ( ω N -1 ) = 1 N e i ω 0 t 0 e i ω 0 t 1 e i ω 0 t N -1 e i ω 1 t 0 e i ω 1 t 1 e i ω 1 t N -1 e i ω N -1 t 0 e i ω N -1 t 1 e i ω N -1 t N -1 f ( t 0 ) f ( t 1 ) f ( t N -1 ) .

In dieser Schreibweise wird der Vektor der diskreten Zeitfunktion durch die Transformationsmatrix der komplexen Exponentialfunktionen mit den Koeffizienten

T n m = 1 N e i ω n -1 t m -1 , m , n = 1 , 2 , , N

in den Vektor der diskreten Frequenzfunktion transformiert. Die Matrix wird häufig als Fouriermatrix bezeichnet.

Beispiel

Sei f ( t ) = sin ( t ) mit T = 2 π und N = 4 . Daraus entstehen die folgenden diskreten Zeitpunkte

t m = m T N = m π 2 , m = 0 , 1 , 2 , 3

und Frequenzpunkte

ω n = 2 π n T = n , n = 0 , 1 , 2 , 3 .

Der Vektor der diskreten Zeitfunktion ist

f ( t 0 ) f ( t 1 ) f ( t 2 ) f ( t 3 ) = sin ( 0 ) sin ( π / 2 ) sin ( π ) sin ( 3 π / 2 ) = 0 1 0 -1 .

Die Transformationsmatrix hat die Koeffizienten

T n m = 1 N e i ω n -1 t m -1 , m , n = 1 , 2 , , N = 1 4 e i ( n -1 ) ( m -1 ) π / 2

und in expliziter Form lautet sie

T = 1 4 e i 0 e i 0 e i 0 e i 0 e i 0 e i π / 2 e i π e i 3 π / 2 e i 0 e i π e i 2 π e i 3 π e i 0 e i 3 π / 2 e i 3 π e i 9 π / 2 = 1 4 1 1 1 1 1 i -1 - i 1 -1 1 -1 1 - i -1 i .

Der Vektor der diskreten Frequenzfunktion ist

F ( ω 0 ) F ( ω 1 ) F ( ω 2 ) F ( ω 3 ) = 1 4 1 1 1 1 1 i -1 - i 1 -1 1 -1 1 - i -1 i 0 1 0 -1 = 0 i / 2 0 - i / 2 .

Nun rekonstruieren wir die diskrete Zeitfunktion aus der erhaltenen Frequenzfunktion:

f ( t m ) = n = 0 3 F ( ω n ) e - i ω n t m , m = 0 , 1 , 2 , 3 . = F ( ω 0 ) e - i 0 t m + F ( ω 1 ) e - i t m + F ( ω 2 ) e - i 2 t m + e - i 3 t m F ( ω 3 ) = i 2 e - i t m - i 2 e - i 3 t m

Entwickeln wir die komplexen Exponentialfunktionen in sin- und cos-Funktionen, so entsteht

f ( t m ) = i 2 cos ( t m ) - i sin ( t m ) - i 2 cos ( 3 t m ) - i sin ( 3 t m ) = 1 2 sin ( t m ) - 1 2 sin ( 3 t m ) + i 2 cos ( t m ) - cos ( 3 t m ) .

Der Realteil der rekonstruierten Funktion f ( t m ) lautet

1 2 sin ( t m ) - 1 2 sin ( 3 t m ) .

Er unterscheidet sich von der ursprünglichen Funktion f ( t m ) = sin ( t m ) , nicht jedoch an den Stellen

t m = m π 2 , m = 0 , 1 , 2 , 3 .

Dieses Phänomen, dass eine Frequenz eine andere imitiert, heißt Aliasing.

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