zum Directory-modus

Schnelle Fouriertransformation

Diskrete Fouriertransformation

Die reelle Fouriersynthese einer in einem gegebenen Intervall der Länge T definierten Funktion f ( t ) besteht aus einer Reihe der Winkelfunktionen

f ( t ) = a 0 2 + k = 1 a k cos 2 π k t T + b k sin 2 π k t T .

Die Fouriersynthese der Funktion f ( t ) ist periodisch mit der Periode T . Die Winkelfunktionen haben die Eigenschaft, dass sie orthogonal in einem beliebigen Intervall [ t ' , t ' + T ] , t ' sind

t ' t ' + T cos 2 π k t T cos 2 π l t T d t = T 2 δ k , l k 0 T k = l = 0
t ' t ' + T sin 2 π k t T sin 2 π l t T d t = T 2 δ k , l k 0 0 k = 0

wobei

δ k , l = 1 k = l 0 k l

das Kronecker-Deltasymbol ist. Entsprechend lautet die Fouriersynthese in komplexer Form

f ( t ) = - c k e i 2 π k t T .

Die Orthogonalitätsrelation für die komplexe Exponentialfunktion hat die Form

t ' t ' + T e i 2 π k t T * e i 2 π l t T d t = T δ k , l , k , l .

Die Winkelfunktionen und die komplexen Exponentialfunktionen haben die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie auch an den N äquidistanten diskreten Stellen über die Periode T

t m = m T N , m = 0 , 1 , , N -1 , N gerade

orthogonal sind. Für die Winkelfunktionen gilt

m = 0 N cos 2 π k t m T cos 2 π l t m T = N / 2 k = l 0 , N / 2 N k = l = 0 , N / 2 0 k l m = 0 N sin 2 π k t m T sin 2 π l t m T = N / 2 k = l 0 , N / 2 N k = l = 0 , N / 2 0 k l

und entsprechend in komplexer Form

m = 0 N -1 e i 2 π k t m T * e i 2 π l t m T = N δ k , l ± q N , k , l , q .

Führen wir nun die diskreten Kreisfrequenzen

ω n = 2 π n T , n = 0 , 1 , , N -1

ein, so lassen sich die komplexen Exponentialfunktionen schreiben als

e i 2 π k t m T e i ω k t m ,

womit die diskreten Fouriertransformationen schließlich lauten

F ( ω n ) = 1 N m = 0 N -1 f ( t m ) e i ω n t m , n = 0 , 1 , , N -1, f ( t m ) = n = 0 N -1 F ( ω n ) e - i ω n t m , m = 0 , 1 , , N -1 .

Sie stellt das diskrete Analogon der kontinuierlichen Fouriertransformationen dar:

F ( ω ) = 1 2 π - f ( t ) e i ω t d t f ( t ) = 1 2 π - F ( ω ) e - i ω t d ω .

Die diskrete Fouriertransformation ist für die Auswertung experimenteller Daten in Rechnern erforderlich, die durch Analog/Digital-Wandlung in gleichen Zeitintervallen Δ t entstehen und das ursprüngliche analoge Messsignal an den Stützstellen t m = m T / N , m = 0 , 1 , , N -1 wiedergeben.

<Seite 1 von 3