2D-Fourierreihe - Konvergenzfragen

Bei der Herleitung der Formeln (2D-Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) hatten wir insbesondere vorausgesetzt, dass $\mathit{f}$ sich „als Fourierreihe darstellen” lässt, was zwar nicht besonders präzise war, aber sicher beinhaltet, dass die Fourierreihe von $\mathit{f}$ gegen $\mathit{f}$ konvergiert. Anwenden lassen sich die Formeln aber bereits unter schwächeren Voraussetzungen, womit, wie schon im eindimensionalen Fall, die Situation entsteht, dass wir die Koeffizienten zwar berechnen können, aber nicht wissen, ob und wenn ja in welcher Weise die Reihe gegen $\mathit{f}$ konvergiert.

Es sind zunächst die möglichen Konvergenzbegriffe zu klären. Wie zu erwarten, lassen sich die bekannten Konvergenzbegriffe vom Ein- ins Zweidimensionale übertragen, und zwar in recht offensichtlicher Weise. Gehen wir etwas mehr ins Detail. Das Pendant zur eindimensionalen abgebrochenen Fourierreihe (Reelle Fourierreihe - Einführung) bzw. (Komplexe Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) ist

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)& =& \sum _{\mathit{m}=0}^{\mathit{M}}\sum _{\mathit{n}=0}^{\mathit{N}}{\lambda }_{\mathit{m}\mathit{n}}\left({\mathit{A}}_{\mathit{m}\mathit{n}}cos\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)cos\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right. \\ & & +{\mathit{B}}_{\mathit{m}\mathit{n}}cos\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)sin\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\\ & & +{\mathit{C}}_{\mathit{m}\mathit{n}}sin\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)cos\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\\ & & \left. +{\mathit{D}}_{\mathit{m}\mathit{n}}sin\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)sin\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right)\end{array}$$

bzw.

$${\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)=\sum _{\mathit{m}=-\mathit{M}}^{\mathit{M}}\sum _{\mathit{n}=-\mathit{N}}^{\mathit{N}}{\mathit{E}}_{\mathit{m}\mathit{n}}exp\left(\text{i}\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}+\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right).$$

Seien ${\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2\in ℝ$ beliebig, aber fest. Wir sagen, ${\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}$ konvergiert im Punkt $\langle {\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2\rangle$ gegen $\mathit{f}$, falls folgendes gilt: zu jedem reellen $\epsilon >0$ gibt es $\mathit{M}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2,\epsilon ),\mathit{N}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2,\epsilon )\in \mathbb{N}$, so dass

$$|{\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)-\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)|<\epsilon$$

für alle $\mathit{M},\mathit{N}\in \mathbb{N}$ mit $\mathit{M}\ge \mathit{M}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2,\epsilon )$ und $\mathit{N}\ge \mathit{N}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2,\epsilon )$. Gilt dies für alle ${\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2\in ℝ$, so sagen wir kurz, ${\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}$ konvergiert punktweise gegen $\mathit{f}$. Ist das der Fall, und lassen sich $\mathit{M}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2,\epsilon )$ und $\mathit{N}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2,\epsilon )$ für jedes feste $\epsilon$ unabhängig von ${\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2$ wählen, gibt es also zu jedem $\epsilon >0$ Zahlen $\mathit{M}(\epsilon ),\mathit{N}(\epsilon )\in \mathbb{N}$, so dass für alle $\mathit{M}\ge \mathit{M}(\epsilon )$, $\mathit{N}\ge \mathit{N}(\epsilon )$, ${\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2\in ℝ$, so sagen wir, ${\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\mathit{f}$. Punktweise Konvergenz ist ganz offensichtlich schwächer als gleichmäßige. Ein noch schwächerer Konvergenzbegriff ist der folgende: Wir sagen, ${\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}$ konvergiert im quadratischen Mittel gegen $\mathit{f}$, falls zu jedem $\epsilon >0$ positive ganze Zahlen $\mathit{M}(\epsilon ),\mathit{N}(\epsilon )$ existieren, so dass

$$\underset{-{\tau }_2}{\overset{{\tau }_2}{\int }}\underset{-{\tau }_1}{\overset{{\tau }_1}{\int }}{\left|{\mathit{f}}_{\mathit{M}\mathit{N}}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)-\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)\right|}^2\text{d}{\mathit{t}}_1\text{d}{\mathit{t}}_2<\epsilon$$

für alle $\mathit{M},\mathit{N}$ mit $\mathit{M}\ge \mathit{M}(\epsilon )$ und $\mathit{N}\ge \mathit{N}(\epsilon )$. Diese Definitionen gelten sowohl im reell- als auch im komplexwertigen Fall.

Etwas schwieriger ist die Frage der Konvergenz selbst zu klären. Wir begnügen uns damit, ohne Beweis (siehe Literatur), folgende Sätze anzugeben:

Theorem

Ist $\mathit{f}$ im Gebiet $-{\tau }_1\le {\mathit{t}}_1\le {\tau }_1$, $-{\tau }_2\le {\mathit{t}}_2\le {\tau }_2$ stetig, so konvergiert die Fourierreihe von $\mathit{f}$ im quadratischen Mittel gegen $\mathit{f}$.

Bemerkung: In der diesem Text zugrundeliegenden Literatur wird die Stetigkeit von $\mathit{f}$ gefordert und nur der komplexe Fall betrachtet, wahrscheinlich lässt sich dies jedoch abschwächen, so dass komplette Analogie zu den eindimensionalen Sätzen (reell, komplex) entsteht.

Theorem

Existieren die partiellen Ableitungen $\partial \mathit{f}/\partial {\mathit{t}}_1$, $\partial \mathit{f}/\partial {\mathit{t}}_2$ und ${\partial }^2\mathit{f}/{\partial }_2\partial {\mathit{t}}_1$ überall im Gebiet $-{\tau }_1\le {\mathit{t}}_1\le {\tau }_1$, $-{\tau }_2\le {\mathit{t}}_2\le {\tau }_2$, und sind sie und $\mathit{f}$ dort überall stetig, so konvergiert die Fourierreihe von $\mathit{f}$ gleichmäßig gegen $\mathit{f}$.

Auch bei diesem Satz wird in der diesem Text zugrunde liegenden Literatur vom komplexen Fall ausgegangen, der Satz dürfte aber auch für die reelle Fourierreihe gelten.