Zweidimensionale Fourierreihen
2D-Fourierreihe - Konvergenzfragen
Bei der Herleitung der Formeln (2D-Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) hatten wir insbesondere vorausgesetzt, dass sich „als Fourierreihe darstellen” lässt, was zwar nicht besonders präzise war, aber sicher beinhaltet, dass die Fourierreihe von gegen konvergiert. Anwenden lassen sich die Formeln aber bereits unter schwächeren Voraussetzungen, womit, wie schon im eindimensionalen Fall, die Situation entsteht, dass wir die Koeffizienten zwar berechnen können, aber nicht wissen, ob und wenn ja in welcher Weise die Reihe gegen konvergiert.
Es sind zunächst die möglichen Konvergenzbegriffe zu klären. Wie zu erwarten, lassen sich die bekannten Konvergenzbegriffe vom Ein- ins Zweidimensionale übertragen, und zwar in recht offensichtlicher Weise. Gehen wir etwas mehr ins Detail. Das Pendant zur eindimensionalen abgebrochenen Fourierreihe (Reelle Fourierreihe - Einführung) bzw. (Komplexe Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) ist
bzw.
Seien beliebig, aber fest. Wir sagen, konvergiert im Punkt gegen , falls folgendes gilt: zu jedem reellen gibt es , so dass
für alle mit und . Gilt dies für alle , so sagen wir kurz, konvergiert punktweise gegen . Ist das der Fall, und lassen sich und für jedes feste unabhängig von wählen, gibt es also zu jedem Zahlen , so dass für alle , , , so sagen wir, konvergiert gleichmäßig gegen . Punktweise Konvergenz ist ganz offensichtlich schwächer als gleichmäßige. Ein noch schwächerer Konvergenzbegriff ist der folgende: Wir sagen, konvergiert im quadratischen Mittel gegen , falls zu jedem positive ganze Zahlen existieren, so dass
für alle mit und . Diese Definitionen gelten sowohl im reell- als auch im komplexwertigen Fall.
Etwas schwieriger ist die Frage der Konvergenz selbst zu klären. Wir begnügen uns damit, ohne Beweis (siehe Literatur), folgende Sätze anzugeben:
- Theorem
- Ist im Gebiet , stetig, so konvergiert die Fourierreihe von im quadratischen Mittel gegen .
Bemerkung: In der diesem Text zugrundeliegenden Literatur wird die Stetigkeit von gefordert und nur der komplexe Fall betrachtet, wahrscheinlich lässt sich dies jedoch abschwächen, so dass komplette Analogie zu den eindimensionalen Sätzen (reell, komplex) entsteht.
- Theorem
- Existieren die partiellen Ableitungen , und überall im Gebiet , , und sind sie und dort überall stetig, so konvergiert die Fourierreihe von gleichmäßig gegen .
Auch bei diesem Satz wird in der diesem Text zugrunde liegenden Literatur vom komplexen Fall ausgegangen, der Satz dürfte aber auch für die reelle Fourierreihe gelten.