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Zweidimensionale Fourierreihen

2D-Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten

Sei eine Funktion f von 2 nach bzw. gegeben, die 2 τ 1 , 2 τ 2 -periodisch ist und sich als Fourierreihe (2D-Fourierreihe - Einführung) darstellen lässt (wir werden in Kürze, wenn auch nicht sehr präzise, weitere Anforderungen an f stellen). Wir verzichten auf eine genaue Definition dessen, was „als Fourierreihe darstellen lassen” heißen soll; es ist aber klar, dass es die Konvergenz der Reihe gegen die Funktion bezüglich eines geeigneten Konvergenztyps beinhalten muss. Welche Konvergenztypen es überhaupt gibt, klären wir auf der nächsten Seite.

Zunächst zu dem Fall, dass f reellwertig ist. Die Berechnung der Koeffizienten A m n , B m n , C m n , D m n erfolgt ganz analog zum Eindimensionalen. Um beispielsweise A m n zu erhalten, multiplizieren wir (2D-Fourierreihe - Einführung) mit cos ( m π t 1 / τ 1 ) cos ( n π t 2 / τ 2 ) und integrieren über den Bereich - τ 1 t 1 τ 1 , - τ 2 t 2 τ 2 . Vertauschen wir nun rechts die Reihenfolge von Integral und Reihe und berücksichtigen die Orthogonalitätsrelationen, so ergibt sich

- τ 2 + τ 2 - τ 1 + τ 1 cos m π t 1 τ 1 cos n π t 2 τ 2 f ( t 1 , t 2 ) d t 1 d t 2 = λ m n A m n P m m n n ,

was sich nach A m n auflösen lässt. Die gerade skizzierten Rechenschritte lassen sich natürlich nur durchführen, wenn f gewisse Voraussetzungen erfüllt. Wir wollen nicht in Einzelheiten gehen, sondern nur verlangen, dass f über - τ 1 t 1 τ 1 , - τ 2 t 2 τ 2 integrierbar und von solcher Art ist, dass Integral und Reihe vertauschbar sind. Die übrigen Koeffizienten errechnen sich nach dem gleichen Prinzip. Wir geben nur noch das Ergebnis an:

A m n = 1 λ m n P m m n n - τ 2 + τ 2 - τ 1 + τ 1 cos m π t 1 τ 1 cos n π t 2 τ 2 f ( t 1 , t 2 ) d t 1 d t 2 , B m n = 1 λ m n Q m m n n - τ 2 + τ 2 - τ 1 + τ 1 cos m π t 1 τ 1 sin n π t 2 τ 2 f ( t 1 , t 2 ) d t 1 d t 2 , C m n = 1 λ m n R m m n n - τ 2 + τ 2 - τ 1 + τ 1 sin m π t 1 τ 1 cos n π t 2 τ 2 f ( t 1 , t 2 ) d t 1 d t 2 , D m n = 1 λ m n S m m n n - τ 2 + τ 2 - τ 1 + τ 1 sin m π t 1 τ 1 sin n π t 2 τ 2 f ( t 1 , t 2 ) d t 1 d t 2 .

Die Formeln gelten nur dann, wenn Q m m n n bzw. R m m n n bzw. S m m n n von Null verschieden sind. In den übrigen Fällen können wir B m n bzw. C m n bzw. D m n willkürlich gleich Null oder irgend einem anderen Wert setzen - auf die Reihe (2D-Fourierreihe - Einführung) hat das keinen Einfluss (man mache sich das klar).

Auch im komplexwertigen Fall (d.h. f hat Werte in ) ist die Berechnung der Koeffizienten analog zum Eindimensionalen (siehe dort): Multiplizieren der Reihe mit dem konjugiert Komplexen von (2D-Fourierreihe - Einführung) , wobei für m und n die gewünschten Werte einzusetzen sind, Integration über - τ 1 t 1 τ 2 , - τ 2 t 2 τ 2 , Vertauschung von Reihe und Integral, Ausnutzung der Orthogonalitätsrelationen (2D-Fourierreihe - Einführung) , Auflösen nach E m n . Das ergibt die Formel

E m n = 1 4 τ 1 τ 2 - τ 2 τ 2 - τ 1 τ 1 exp i m π t 1 τ 1 + n π t 2 τ 2 f ( t 1 , t 2 ) d t 1 d t 2 .

Sie gilt für alle n , m .

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