2D-Fourierreihe - Einführung

Wir werden ab jetzt mathematisch weniger exakt sein; d.h.: keine strengen Beweise, nur formale Umformungen usw. Ohnehin gibt es auf dem Gebiet, das wir nun betreten, nicht so viele exakte Resultate; einfach, weil die Schwierigkeiten ungleich größer sind. Es ist eine gute Vorgehensweise, jeweils nach dem Analogon eines Begriffs aus der Theorie der eindimensionalen Fourierreihen im Mehrdimensionalen zu fragen. Als erstes müssen wir klären, was eine periodische Funktion $\mathit{f}$ von zwei Variablen ${\mathit{t}}_1$, ${\mathit{t}}_2$ (beide reell) ist. Wir tun dies mit folgender Definition: $\mathit{f}$ heißt periodisch, wenn es positive Zahlen ${\mathit{T}}_1,{\mathit{T}}_2$, die so genannten Perioden von $\mathit{f}$, gibt, so dass

$$\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)=\mathit{f}({\mathit{t}}_1+{\mathit{T}}_1,{\mathit{t}}_2)\text{für alle}{\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2\in ℝ$$

und

$$\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)=\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2+{\mathit{T}}_2)\text{für alle}{\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2\in ℝ;$$

mit anderen Worten also dann, wenn für jedes beliebige, aber festgehaltene ${\mathit{t}}_2$ die Größe $\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)$, betrachtet als Funktion von ${\mathit{t}}_1$, periodisch ist und dasselbe mit vertauschten Rollen von ${\mathit{t}}_1$ und ${\mathit{t}}_2$ gilt. Statt „$\mathit{f}$ ist periodisch und hat die Perioden ${\mathit{T}}_1$ und ${\mathit{T}}_2$” sagen wir auch kürzer „$\mathit{f}$ ist ${\mathit{T}}_1,{\mathit{T}}_2$-periodisch”. Dies gilt sowohl für reell- als auch für komplexwertige Funktionen (man beachte aber, dass die Variablen ${\mathit{t}}_1$, ${\mathit{t}}_2$ in beiden Fällen reell sind). Betrachten wir zuerst die reellwertigen. Beispiele sind Funktionen des Typs

$$\begin{array}{ll}cos\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)cos\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right),& cos\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)sin\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right),\\ sin\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)cos\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right),& sin\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)sin\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right),\end{array}$$

wobei ${\tau }_1,{\tau }_2$ positive reelle und $\mathit{m},\mathit{n}$ nichtnegative ganze Zahlen sind. Die Funktionen haben die Perioden $2{\tau }_1$ und $2{\tau }_2$, wie man sofort sieht. In der Theorie der (reellen) 2D-Fourierreihen geht es (wenig überraschend) darum, andere $2{\tau }_1,2{\tau }_2$ -periodische Funktionen $\mathit{f}$ aus den obigen aufzubauen, und zwar durch eine Reihenentwicklung der Art

$$\begin{array}{rcl}\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)& =& \sum _{\mathit{m}=0}^{\infty }\sum _{\mathit{n}=0}^{\infty }{\lambda }_{\mathit{m}\mathit{n}}\left({\mathit{A}}_{\mathit{m}\mathit{n}}cos\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)cos\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right. \\ & & +{\mathit{B}}_{\mathit{m}\mathit{n}}cos\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)sin\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\\ & & +{\mathit{C}}_{\mathit{m}\mathit{n}}sin\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)cos\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\\ & & \left. +{\mathit{D}}_{\mathit{m}\mathit{n}}sin\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}\right)sin\left(\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right),\end{array}$$

wobei

$${\lambda }_{\mathit{m}\mathit{n}}=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{4}& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{n}=0\\ \frac{1}{2}& \text{falls (}\mathit{m}=0\text{und}\mathit{n}\ne 0\text{) oder (}\mathit{m}=0\text{und}\mathit{n}\ne 0\text{)}\\ 1& \text{falls}\mathit{m}\ne 0\text{und}\mathit{n}\ne 0\end{array}\right.$$

(dies dient nur der Übersichtlichkeit der Schreibweise) und ${\mathit{A}}_{\mathit{m}\mathit{n}},{\mathit{B}}_{\mathit{m}\mathit{n}},{\mathit{C}}_{\mathit{m}\mathit{n}},{\mathit{D}}_{\mathit{m}\mathit{n}}$ reelle Konstanten sind. heißt (ebenfalls wenig überraschend), (reelle 2D) Fourierreihe von $\mathit{f}$.

Die Funktionen sind offenbar das Analogon zu den Funktionen (Reelle Fourierreihe - Einführung) im eindimensionalen Fall. Ebenso wie letztere erfüllen sie einen Satz von Orthogonalitätsrelationen. Dazu müssen alle möglichen Produkte von je zweien der vier Funktionen mit unabhängigen Paaren von Indizes gebildet und über das Rechteck $[-{\tau }_1,{\tau }_1]\times [-{\tau }_2,{\tau }_2]$ integriert werden. Die Ergebnisse stellen wir mit Hilfe folgender Tabelle dar:

Sie ist wie folgt zu lesen: $coscos,cossin,sincos,sinsin$ stehen für die vier Funktionen , $cos\text{'}cos\text{'},cos\text{'}sin\text{'},sin\text{'}cos\text{'},sin\text{'}sin\text{'}$ für dieselben Funktionen mit $\mathit{m},\mathit{n}$ ersetzt durch $\mathit{m}\text{'},\mathit{n}\text{'}$. Die Symbole $\mathit{m},\mathit{n},\mathit{m}\text{'},\mathit{n}\text{'}$ bezeichnen beliebige Zahlen aus ${\mathbb{N}}_0$. Die Einträge enthalten die Integrale des Produkts der beiden entsprechenden Funktionen über $-{\tau }_1\le {\mathit{t}}_1\le {\tau }_1,-{\tau }_2\le {\mathit{t}}_2\le {\tau }_2$, wobei ein leerer Eintrag für $0$ steht. Schließlich

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{P}}_{\mathit{m}\mathit{m}\text{'}\mathit{n}\mathit{n}\text{'}}& =& \left\{\begin{array}{cl}0& \text{falls}\mathit{m}\ne \mathit{m}\text{'}\text{oder}\mathit{n}\ne \mathit{n}\text{'}\\ {\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}\ne 0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}\ne 0\\ 2{\tau }_1{\tau }_2& \text{falls (}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}\ne 0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}=0\text{)}\\ & \text{oder (}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}=0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}\ne 0\text{)}\\ 4{\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}=0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}=0\end{array}\right. ,\\ {\mathit{Q}}_{\mathit{m}\mathit{m}\text{'}\mathit{n}\mathit{n}\text{'}}& =& \left\{\begin{array}{cl}0& \text{falls}\mathit{m}\ne \mathit{m}\text{'}\text{oder}\mathit{n}\ne \mathit{n}\text{'}\\ & \text{oder}\mathit{n}=0\text{oder}\mathit{n}\text{'}=0\\ {\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}\ne 0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}\ne 0\\ 2{\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}=0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}\ne 0\end{array}\right. ,\\ {\mathit{R}}_{\mathit{m}\mathit{m}\text{'}\mathit{n}\mathit{n}\text{'}}& =& \left\{\begin{array}{cl}0& \text{falls}\mathit{m}\ne \mathit{m}\text{'}\text{oder}\mathit{n}\ne \mathit{n}\text{'}\\ & \text{oder}\mathit{m}=0\text{oder}\mathit{m}\text{'}=0\\ {\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}\ne 0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}\ne 0\\ 2{\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}\ne 0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}=0\end{array}\right. ,\\ {\mathit{S}}_{\mathit{m}\mathit{m}\text{'}\mathit{n}\mathit{n}\text{'}}& =& \left\{\begin{array}{cl}0& \text{falls}\mathit{m}\ne \mathit{m}\text{'}\text{oder}\mathit{n}\ne \mathit{n}\text{'}\\ & \text{oder eine der Zahlen}\mathit{m},\mathit{m}\text{'},\mathit{n},\mathit{n}\text{'}=0\\ {\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}\ne 0\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}\ne 0\end{array}\right. .\end{array}$$

Die Richtigkeit prüft man leicht nach, denn die Integrale lassen sich auf (Reelle Fourierreihe - Einführung) zurückführen. Die durch die Tabelle und vermittelten Informationen scheinen recht unübersichtlich; worauf es jedoch in erster Linie ankommt, ist die Tatsache, dass das Integral immer Null ist, wenn $\mathit{m}\ne \mathit{m}\text{'}$ oder $\mathit{n}\ne \mathit{n}\text{'}$. In allen anderen Fällen ist es von Null verschieden, es sei denn, der Integrand enthält die Nullfunktion in Form von $sin(0\pi {\mathit{t}}_1/{\tau }_1)$ oder $sin(0\pi {\mathit{t}}_2/{\tau }_2)$. Produkte , die solcherart die Nullfunktion enthalten, könnten in auch weggelassen werden (was vom theoretischen Standpunkt auch vorzuziehen wäre), das würde aber in eine recht umständliche Handhabung der Summationsindizes erfordern, weswegen wir davon absehen.

Natürlich gibt es auch die komplexe Variante der 2D-Fourierreihe. Sie hat die Form

$$\mathit{f}({\mathit{t}}_1,{\mathit{t}}_2)=\sum _{\mathit{m}=-\infty }^{\infty }\sum _{\mathit{n}=-\infty }^{\infty }{\mathit{E}}_{\mathit{m}\mathit{n}}exp\left(\text{i}\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}+\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right),$$

wobei die $2{\tau }_1,2{\tau }_2$-periodische Funktion $\mathit{f}$ jetzt komplexwertig sein darf und ${\mathit{E}}_{\mathit{m}\mathit{n}}$ komplexe Konstanten sind. Die Rolle der Funktionen übernehmen jetzt die Funktionen

$$exp\left(\text{i}\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}+\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right)$$

mit $\mathit{m},\mathit{n}\in \mathbb{Z}$, die ebenfalls eine Orthogonalitätsrelation erfüllen:

$$\underset{-{\tau }_2}{\overset{{\tau }_2}{\int }}\underset{-{\tau }_1}{\overset{{\tau }_1}{\int }}{\left[exp\left(\text{i}\left(\frac{\mathit{m}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}+\frac{\mathit{n}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right)\right]}^{*}exp\left(\text{i}\left(\frac{\mathit{m}\text{'}\pi {\mathit{t}}_1}{{\tau }_1}+\frac{\mathit{n}\text{'}\pi {\mathit{t}}_2}{{\tau }_2}\right)\right)\text{d}{\mathit{t}}_1\text{d}{\mathit{t}}_2=\left\{\begin{array}{cl}0& \text{falls}\mathit{m}\ne \mathit{m}\text{'}\text{oder}\mathit{n}\ne \mathit{n}\text{'}\\ 4{\tau }_1{\tau }_2& \text{falls}\mathit{m}=\mathit{m}\text{'}\text{und}\mathit{n}=\mathit{n}\text{'}\end{array}\right. .$$

Dass hier der $*$ für das konjugiert Komplexe auftaucht, hat wie, im Eindimensionalen (siehe dort), eine tiefere Bedeutung, auf die wir jedoch nicht eingehen können. Unter Berücksichtigung der bekannten Beziehung $({\text{e}}^{\text{i}\mathit{x}}{)}^{*}={\text{e}}^{-\text{i}\mathit{x}}$ ließe sich die Formel auch ohne $*$ schreiben. Ein Beweis von erübrigt sich, da sich die Formel auf einfache Weise von ihrem eindimensionalen Pendant (Komplexe Fourierreihe - Einführung) ableitet (man vollziehe das als Übungsaufgabe selbst nach).