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Komplexe Fourierreihen

Zusammenhang mit der reellen Fourierreihe

Wir begnügen uns hier mit formalen Manipulationen an unendlichen Reihen, d.h. wir unterdrücken Fragen nach Konvergenz und Grenzwert. Sei eine 2 τ -periodische, komplexwertige Funktion f gegeben. Betrachten wir ihre Fourierreihe

f ( t ) = n = - c n e i n π t / τ

(vgl. Gleichung (Komplexe Fourierreihe - Einführung) ). Nach der Euler´schen Gleichung ist

e i n π t / τ = cos n π t τ + i sin n π t τ .

Einsetzen in ergibt

f ( t ) = n = - c n cos n π t τ + i c n sin n π t τ  .

Indem wir jeweils den n - und ( - n )-Term zusammenfassen, können wir statt von - bis + auch von 1 bis + summieren und den 0-ten Term aus der Reihe herausziehen, also schreiben:

f ( t ) = c 0 + n = 1 c n cos n π t τ + i c n sin n π t τ + c - n cos - n π t τ + i c - n sin - n π t τ  .

Nun ist der Kosinus eine gerade und der Sinus eine ungerade Funktion, daher

cos - n π t τ = cos n π t τ und sin - n π t τ = - sin n π t τ .

Setzen wir in ein und fassen zusammen, erhalten wir

f ( t ) = c 0 + n = 1 ( c n + c - n ) cos n π t τ + i ( c n - c - n ) sin n π t τ .

Nun machen wir folgende Definitionen:

a n : = c n + c - n

für alle n 0 und

b n : = i ( c n - c - n )

für alle n , wobei statt im Fall n = 0 auch

a 0 : = 2 c 0

gesetzt werden kann. Damit nimmt die Form

f ( t ) = 1 2 a 0 + n = 1 a n cos n π t τ + b n sin n π t τ

an, also, wie ein Vergleich mit Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) zeigt, dieselbe Form wie die reelle Fourierreihe. Es gibt aber einen wichtigen Unterschied: die Koeffizienten a n und b n sind in i. Allg. komplex und nicht reell. Das liegt daran, dass wir hier eine komplexwertige Funktion f betrachten. Die Gleichungen - lassen sich nach c n , c - n und c 0 auflösen. Das ergibt

c n = 1 2 ( a n + i b n )

und

c - n = 1 2 ( a n - i b n )

für alle n und

c 0 = 1 2 a 0

(man beachte, dass dadurch c n für alle n festgelegt ist, wenn man sich die a n und b n gegeben denkt).

Reellwertige Funktionen sind lediglich spezielle komplexwertige Funktionen (nämlich solche, bei denen der Imaginärteil des Funktionswertes stets Null ist). Betrachten wir diesen Spezialfall genauer, indem wir Im f ( t ) = 0 für alle t voraussetzen. Denken wir uns die komplexe Fourierreihe berechnet und wie oben in die Form gebracht. Da f reellwertig ist, können wir auch die reelle Fourierreihe (Reelle Fourierreihe - Einführung) von f berechnen. Diese muss mit identisch sein, d.h. die nach (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) berechneten Koeffizienten a n und b n müssen mit den nach - berechneten identisch sein (streng genommen wäre dies zu beweisen, worauf wir jedoch verzichten). Damit steht fest, dass die a n und b n reell sein müssen. Berücksichtigen wir dies, können wir aus - ablesen, dass für alle n der Real- bzw. Imaginärteil von c n durch a n / 2 bzw. b n / 2 , der Real- bzw. Imaginärteil von c - n durch a n / 2 bzw. - b n / 2 und der Real- bzw. Imaginärteil von c 0 durch a 0 / 2 bzw. 0 gegeben ist. Damit gilt

( c n ) * = c - n ,

d.h., c n und c - n sind konjugiert komplex zueinander, für alle n . Schließlich können wir noch - immer den angegebenen Spezialfall vorausgesetzt - den Gleichungen - die folgende Form geben:

a n = c n + ( c n ) * = 2 Re c n

und

b n = i ( c n - ( c n ) * ) = 2 i Im c n

und

a 0 = 2 c 0 = 2 Re c 0 .

ist gültig für alle n 0 , für alle n . ist in enthalten.

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