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Komplexe Fourierreihen

Komplexe Fourierreihe - Konvergenzfragen

Sei eine 2 τ -periodische, über das Intervall [ - τ , + τ ] integrierbare Funktion f von nach gegeben; und seien c n , n , ihre durch (Komplexe Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) definierten Fourierkoeffizienten. Es stellt sich die Frage nach der Konvergenz im quadratischen Mittel bzw. punktweisen Konvergenz bzw. gleichmäßigen Konvergenz (Erklärung dieser Begriffe) der Fourierreihe (Komplexe Fourierreihe - Einführung) . Was ersteren Konvergenztyp betrifft, überträgt sich der entsprechende Satz aus dem Reellen ins Komplexe, es gilt also ohne weitere Voraussetzungen:

Theorem
Die Fourierreihe von f konvergiert im quadratischen Mittel gegen f .

(Literatur.) Zur punktweisen Konvergenz. Hier gilt zunächst einmal, wenn t irgend einen Punkt aus bezeichnet:

Theorem
Ist f im Punkt t differenzierbar, so konvergiert die Fourierreihe von f im Punkt t gegen f .

Ferner haben wir den Satz:

Theorem
Ist f auf dem Intervall [ - τ , + τ ] stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert die Fourierreihe von f in jedem Punkt t gegen den Mittelwert ( f ( t - ) + f ( t + ) ) / 2 aus links- und rechtsseitigem Grenzwert, die dort beide existieren; d.h.
lim N f N ( t ) = f ( t - ) + f ( t + ) 2
für alle t .

(Literatur.) Der Begriff der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit ist genau wie im Reellen definiert. Man vergleiche die beiden letzten Aussagen mit den entsprechenden Sätzen im Reellen. Bleibt noch die Frage nach der gleichmäßigen Konvergenz. Hier gilt:

Theorem
Ist f auf dem Intervall [ - τ , + τ ] stetig und stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f .

(Literatur.) Die gleiche Aussage ist auch im Reellen gültig, wie wir aus dem entsprechenden Abschnitt bereits wissen.

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