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Komplexe Fourierreihen

Komplexe Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten

Es sei eine 2 τ -periodische Funktion f von nach gegeben. Sie lasse sich nach Art der Gleichung (Komplexe Fourierreihe - Einführung) als gleichmäßig gegen f konvergente Fourierreihe darstellen, d.h. es gebe komplexe Konstanten c n , n , derart, dass f N für N gleichmäßig gegen f konvergiert, wobei f N für jedes N definiert ist als die Funktion von nach , welche durch

f N ( t ) = n = - N N c n e i n π t / τ

gegeben ist. Ganz offensichtlich stellt das komplexe Analogon zu (Reelle Fourierreihe - Einführung) dar. Sei m beliebig. Wir erhalten, wenn wir den Satz über die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral, den dazugehörigen Hilfsatz und die Orthogonalitätsrelationen (siehe Verweis) berücksichtigen,

- τ + τ ( e i m π t / τ ) * f ( t ) d t = - τ + τ ( e i m π t / τ ) * lim N f N ( t ) d t = lim N - τ + τ ( e i m π t / τ ) * f N ( t ) d t = lim N - τ + τ ( e i m π t / τ ) * n = - N N c n e i n π t / τ d t = lim N n = - N N c n - τ + τ ( e i m π t / τ ) * e i n π t / τ d t = c m 2 τ  .

Der Hilfssatz ist hier anwendbar, da e i m π t / τ ganz offensichtlich eine beschränkte Funktion von t ist. Benennen wir m in n um, lösen nach c n auf und berücksichtigen ( e i n π t / τ ) * = e - i n π t / τ , erhalten wir als Ergebnis

c n = 1 2 τ - τ + τ e - i n π t / τ f ( t ) d t .

Setzen wir von der (weiterhin 2 τ -periodischen) Funktion f nur Integrierbarkeit über das Intervall [ - τ , + τ ] voraus, was wir ab jetzt tun wollen, so können wir c n für jedes n durch definieren. Die so definierten c n ' s nennen wir die (komplexen) Fourierkoeffizienten von f . Zumindest einige der Rechenregeln für das reelle Pendant von , die Gleichungen (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) , lassen sich ins Komplexe übertragen. So darf etwa auf der rechten Seite von das Integrationsgebiet [ - τ , + τ ] durch jedes andere Intervall der Länge 2 τ , also jedes Intervall [ c - τ , c + τ ] mit c beliebig, ersetzt werden. Ferner ist linear, d.h., bezeichnen wir die Fourierkoeffizienten von f mit c ( f ) n , die jeder anderen Funktion (deren Fourierkoeffizienten definiert sind) entsprechend, so gilt

c ( f + g ) n = c ( f ) n + c ( g ) n

für jede ( 2 τ -periodische und über [ - τ , + τ ] integrierbare) komplexwertige Funktion g von t und

c ( a f ) n = a c ( f ) n

für jede komplexe Zahl α . Für gerades oder ungerades f ergeben sich aber keine generellen Vereinfachungen, da e - i n π t / τ weder gerade noch ungerade ist.

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